ラプラシアンフィルタ
ラプラシアンフィルタ(Laplacian filter)
ノイズが2倍に増える？
勾配作用素(gradient operator)$ \nabla
画像処理の場合2次元画像についてフィルタをかけるので定義は↓
$ \nabla = \bigg\lparen \frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}\bigg\rparen
画素値を返す関数(?)$ I 。$ I はIntensity(輝度)由来？。
$ \nabla を$ I に適用し
$ \nabla I = \bigg\lparen \frac{\partial I}{\partial x}, \frac{\partial I}{\partial y}\bigg\rparen
$ I : \Z^2 \to \R,\quad I(x, y)
画素のインデックスが離散的なもので、グレースケール画像のような「1つの値」の場合は値域、定義域はこんな感じ
ラプラシアンフィルタの場合、$ \nabla を二回適用する。これはラプラス作用素と呼ばれている。
$ \nabla^2 I = \bigg\lparen \frac{\partial^2 I}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 I}{\partial y^2}\bigg\rparen
差分近似ということをすると以下のようになる。
$ \nabla^2 I ≈ I(x+1,y)+I(x−1,y)+I(x,y+1)+I(x,y−1)−4I(x,y)
ここまでくるとプログラムに起こしやすい、4近傍ラプラシアンフィルタの処理になる。
Webを眺めたところ符号が逆の場合がある。
①$ \nabla^2 I ≈ I(x+1,y)+I(x−1,y)+I(x,y+1)+I(x,y−1)−4I(x,y)
②$ \nabla^2 I ≈ 4I(x,y) - I(x+1,y) - I(x−1,y) - I(x,y+1) - I(x,y−1)
ChatGPTによると数学的には①が標準らしいが、画像処理的には②の方がエッジが白になり見やすいらしい。
きちんとした差分近似の導出は理解しきれなかった。下記を後で見てみる。
符号の方は疲れたのでいつか調べる。
確認用
Q. ラプラシアンフィルタ
参考
メモ
調査用
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