写像12相
と聞くと難しそう。でも実はそこまで難しくなかったりする。
つまり、よくある「箱にボールを入れていく」系の組み合わせ問題を12パターンに分けたよ〜というもの。例えば、
それぞれ1,2,3,4,5と書かれたボール5つをA,B,C,D,Eと書かれた5箱に入れる組み合わせは何通りか？
などです。この場合は入れる個数にも制約がないので、5*5*5*5*5 = 5^5になります。こんな感じ。
どう区別したら12パターンに分かれるのかというと
ボールを区別するか？
する→1,2,3,4,5...と書かれたボールに
しない→全て同じ色のボール
入れる箱を区別するか？
する→A,B,C,D,E…と書かれた箱に入れていく
しない→ただボールをグループに分けるだけ
箱に入れるボールの個数は
自由
少なくとも1つ
最大でも1つまで
という風に3つの選択肢で分けています。ボールの数はn、箱の数はkで表していきます。
table:twelveway
入れ方は自由 1つしか入らない 少なくとも1つ
ボールを区別して箱も区別 かんたん かんたん むずかしい
ボールを区別して箱区別しない むずかしい かんたん むずかしい
ボールを区別せずに箱は区別 ふつう かんたん ふつう
ボールを区別せずに箱も区別しない 鬼 かんたん 鬼
ということでそれぞれの説明です（簡単な順から）。
かんたん
ボールを区別して箱も区別、入れ方は自由
区別するボール$ n個を区別する箱$ k個に自由に入れる組み合わせは何通りか？
さっきの問題です。「ボールを区別して箱も区別、入れ方は自由」の所です。
一つずつどこに入れるか掛けていけばいいので、答えは$ k^nになります。
ボールを区別して箱も区別、1つしか入らない
区別するボール$ n個を区別する1つまでしか入らない箱$ k個に入れる組み合わせは何通りか？
一つずつ入れていきますが、回数を重ねるごとに選択肢が減っていきます。答えは$ _kP_n通りです。
たとえばカプセルホテルにn人の人が泊まる時に…というのもこのパターンです。
ボールを区別するが箱は区別せず、1つしか入らない
区別する$ n人を$ kつにグループ分けする組み合わせは何通りか？ただし1グループ1人までです。
もはやグループというかおいって感じ。1人ずつに分けるので1通りに決まります。
ボールも箱も区別せず、1つしか入らない
$ n個の大豆を$ kつのグループに分けたい。但し1グループ1つまで。
さっきのと同じノリ。大豆を離して置くことしかできないので1通りに決まります。
ボールは区別せずに箱は区別、1つしか入らない
赤玉$ n個を区別する1つしか入らない箱$ k個に入れる組み合わせは何通りか？
A,B,C,D,E,F,Gからnつ選んでそこに赤玉を入れる、という風に考えると$ _kC_n通りになる。
もう5つも説明したのか…と思ったけどあと7つもある…！！
ふつう
ボールは区別せずに箱は区別、自由に入れれる
赤玉$ n個を区別する$ k個の箱に自由に入れる組み合わせは何通りか？
それぞれの箱は区別でき、a,b,c…という風に名前をつけることができます。そこに数字を足していった時、a+b+c…が合計でnになればいいです。
https://gyazo.com/633c18463712680d62f4bac4af941ea3
ボールは区別せずに箱は区別、少なくとも1つ入れる
赤玉$ n個を区別する$ k個の箱に自由に入れる組み合わせは何通りか？