コインの表裏(確率pで表が出る独立な試行)の分布は「ベルヌーイ分布」と呼ぶ。

ベルヌーイ分布の共役事前分布(ベイズ更新に都合の良い事前分布)はベータ分布である。

観測を行った後の確率分布を事後分布という。

ベイズ的には、事前分布と観測事実から、ベイズ則を使って計算することで導くことができる。

事後分布の最頻値を推定値に選ぶ推定方法をMAP推定(最大事後確率推定)と呼ぶ。

ベータ分布の最頻値は

https://gyazo.com/56a931b048b951464e9fdc9c819e3ec2

平均値は

https://gyazo.com/4f515d445ece206476f50d00a3351c33

ベータ分布はα=β=1の時に一様分布になる。

事前分布がベータ分布B(α, β)の時、

表を1回観測した後の事後分布はB(α+1, β)になる

裏を1回観測した後の事後分布はB(α, β+1)になる

なので、最初に事前分布として一様分布を仮定し、その後表をA回、裏をB回観測した後の、表が出る確率pは

平均 (α+1)/(α+β+2)

最頻値 α/(α+β) となる

こういう理由で、ベルヌーイ分布のpの推定をする際に「分母に2、分子に1を足す」という推定方法が使うことがよくある。