応用数学2前期中間
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持ち込み
筆記用具
定規
以下の項目を特に調べておくこと。
データから平均、分散、共分散、相関係数の導出
データの標準化、偏差値への変換
離散的な確率に関する項目(二項定理も含む)
サイコロはなんとか頑張ってください
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データセット $ X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}とします。
1. 平均 $ \bar{x}
$ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
2. 分散$ s ^2
データのばらつき具合（2乗の総和）
$ s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n}\left\{\sum_{i=i}^{n}(x_i^2)\right\}-(\bar{x})^2
3. 共分散（$ x = yとすれば⇧の分散になる）
$ C_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\}\ = \frac{1}{n} \left\{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i\right\} - (\bar{x} \cdot \bar{y})
4. 標準偏差（分散にルートを掛けたもの）
$ s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1}\big(x_i - \bar{x}\big)^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \left\{\sum^{n}_{i=1}(x_i^2)\right\} - (\bar{x})^2}
5. 相関係数($ -1\leq r_{xy}\leq 1)
$ r_{xy} = \frac{C_{xy}}{s_x \cdot s_y}
6. 回帰直線
$ Y=aX+bとすると、
傾き(a)
$ a = \frac{C_{xy}}{s_x^2}
Y切片(b)
$ b=\bar{Y} - a\bar{X}
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データの標準化
平均が0、標準偏差sが1
$ z = \frac{(x - \bar{x})}{s}
偏差値
$ T = 10 \times \frac{(x - \bar{x})}{s} + 50
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2項定理と多項定理
1. 順列 (P)
$ _nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}
2. 組合 (C)
$ _nC_r = \frac{_nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
$ P \geq Cです。
3. 2項定理
$ (a+b)^n = \sum^{n}_{r=0} \{ {}_nC_r \cdot a^r b^{(n-r)} \}
4. $ (A+B+C)^n の多項定理の形
$ \frac{n!}{k_1!k_2!k_3!} A^{k_1} B^{k_2} C^{k_3}
$ k_1+k_2+k_3 = n
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例：$ (x+2)^5の$ x^3の係数を求めよ。
$ r=3とすれば、
$ (x+2)^5 = \sum^{5}_{r=0} \{ {}_5C_r \cdot x^r 2^{(5-r)} \}
$ _5C_3 \cdot x^3 2^2 = {}_5C_3 \cdot 4x^3
$ = \frac{5!}{3!2!}\cdot 4x^3 = 40x^3
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例：$ (x+\frac{1}{x}+2)^5の定数項を求めよ。
この式を $ (A+B+C)^n の多項定理の形で考えると、
$ \frac{n!}{k_1!k_2!k_3!} A^{k_1} B^{k_2} C^{k_3}
ここで、$ n=5, A=x, B=x^{-1}, C=2 であり、$ k_1+k_2+k_3=5 である。
一般項に代入すると、
$ \frac{5!}{k_1!k_2!k_3!} x^{k_1-k_2} 2^{k_3}
定数項であるためには、$ x の指数が $ 0 になる必要がある。
つまり、$ k_1-k_2=0 \implies k_1=k_2
$ k_1 =0 の場合、
$ (k_1,k_2,k_3)=(0,0,5)
$ \frac{5!}{k_1!k_2!k_3!} x^{k_1-k_2} 2^{k_3} に代入すると、$ 32である。
$ k_1 =1 の場合、
$ (k_1,k_2,k_3)=(1,1,3)
$ \frac{5!}{k_1!k_2!k_3!} x^{k_1-k_2} 2^{k_3} に代入すると、$ 160である。
$ k_1 =2 の場合、
$ (k_1,k_2,k_3)=(2,2,1)
$ \frac{5!}{k_1!k_2!k_3!} x^{k_1-k_2} 2^{k_3} に代入すると、$ 60である。
すべてを合計すると、
$ 32 + 160 + 60 = 252
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1つのさいころを5回投げるとき次の確率を求めよ。
(1) 5回目に初めて1の目が出る確率
$ p^k (1-p)^{n-k}
$ (\frac{5}{6})^4 \times \frac{1}{6} = 0.0804
(2) 3の目が1回だけ出る確率
$ {}_nC_k \cdot p^k (1-p)^{n-k}
$ (\frac{5}{6})^4 \times \frac{1}{6} \times 5 = 0.402
3の目が3回ちょうど出る確率
$ P(3)= {}_5C_3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^2
問題2 3枚の硬貨を同時に投げるとき、次の確率を求めよ。
(1) すべて裏が出る確率
$ (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}
(2) 表が1枚出る確率
$ (\frac{1}{2})^1 \times (\frac{1}{2})^2 \times 3 = \frac{3}{8}
(3) 表が2枚以上出る確率
$ \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}
問題3 ある工場の全従業員の出身地を調べた結果、A県出身が $ 45% 、B県出身が $ 25% 、C県出身が $ 20% 、D県出身が $ 10% であった。また、それぞれの県の出身者のうち男性の占める割合はA県では $ 80% 、B県では $ 75% 、C県では $ 90% 、D県では $ 80% であった。
今この工場で、一人の男性従業員に出会ったとき、その従業員がC県出身である確率を求めよ。
A: $ 0.45 \times 0.80 = 0.36
B: $ 0.25 \times 0.75 = 0.1875
C: $ 0.20 \times 0.90 = 0.18
D: $ 0.10 \times 0.80 = 0.08
$ \frac{\text{C県出身で、なおかつ男である確率}}{\text{男である確率}} = \frac{0.18}{0.36 + 0.1875 + 0.18 + 0.08} = \frac{0.18}{0.8075} \approx 0.223
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課題2の類題（共分散と相関係数）
(1) 表の空欄を理めて、共分散と相関係数を求めよ。
きれいな数値にしてくれそう感あるhill_san.icon
https://scrapbox.io/files/68419c19ca76f8cd0178be7e.png
共分散
$ C_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \cdots [1]
$ C_{xy}=\frac{1}{n} \left\{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i\right\} - (\bar{x} \cdot \bar{y}) \cdots[2]
（どちらを使用しても可です。 なお、【2】の方が表で結果出てるので早いです）
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$ [1]
$ C_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
$ (5−6.8)(5−7.4)=4.32
$ (5−6.8)(7−7.4)=0.72
$ (8−6.8)(6−7.4)=−1.68
$ (7−6.8)(9−7.4)=0.32
$ (9−6.8)(10−7.4)=5.72
$ \frac{1}{5} \Big\{4.32 + 0.72 + (-1.68) + 0.32 + 5.72\Big\} = 1.88
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$ [2]
$ C_{xy}=\frac{1}{n} \left\{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i\right\} - (\bar{x} \cdot \bar{y})
$ C_{xy}= 52.2 - (6.8 \times 7.4) = 1.88
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相関係数
$ r_{xy} = \frac{C_{xy}}{s_x \cdot s_y}
$ s_x = \sqrt{\frac{1}{n} \sum^{n}_{i=1} (x_i-\bar{x})^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \left\{\sum^{n}_{i=1}(x_i^2)\right\} - (\bar{x})^2}
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$ s_x = \sqrt{\frac15 \{(5-6.8)^2 + (5-6.8)^2 + (8-6.8)^2 + (7-6.8)^2 + (9-6.8)^2}\}
$ = \sqrt{2.56}=1.6
別解：
$ s_x = \sqrt{48.8 - 6.8^2} = 1.6
$ s_y = \sqrt{\frac15 \{(5-7.4)^2 + (7-7.4)^2 + (6-7.4)^2 + (9-7.4)^2 + (10-7.4)^2}\}
$ = \sqrt{3.44} \approx 1.855
別解：
$ s_y = \sqrt{58.2 - 7.4^2} = \sqrt{3.44}
$ r_{xy} = \frac{1.88}{\sqrt{2.56} \cdot \sqrt{3.44}} \approx 0.6335