x, y, z は実数で 2025^x = 3^y = 5^z を満たすとする。
このとき $ 2xy + 4xz - yz = 0 であることを示せ。
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$ 2025^x = 3^{4x} \cdot 5^{2x}より、
$ 2025^x = 3^{4x} \cdot 5^{2x} = 3^y = 5^z ...(1) が導ける。
本編
$ 3^{2xy + 4xz - yz} = 3^{2xy} \cdot 3^{4xz} \cdot 3^{-yz}
ここで、仮定$ 3^y = 5^zより、$ 3^{xy} = 5^{xz}だから、
$ = 5^{2xz} \cdot 3^{4xz} \cdot 3^{-yz}
(1)より、$ 3^{y-4x} = 5^{2x}が導けるから、
$ = (3^{y-4x})^{z} \cdot 3^{4xz} \cdot 3^{-yz}
$ = 3^{yz} \cdot 3^{-4xz} \cdot 3^{4xz} \cdot 3^{-yz}
$ = 3^0 = 1
ゆえに、$ 2xy + 4xz - yz = 0 が成り立つ。
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x, y, z は実数で $ 2025^x = 3^y = 5^z を満たすとき、$ 2xy+4xz-yz=0 であることを証明します。
$ 2025^x = 3^y = 5^z = k (k>0) とおきます。
対数をとると、$ x=\log_{2025} k, y=\log_3 k, z=\log_5 k となります。
ここで、底の変換公式 $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} を用いて底を $ k に揃えると、
$ \frac{1}{x}=\log_k 2025, \frac{1}{y}=\log_k 3, \frac{1}{z}=\log_k 5
となります。
$ 2025 を素因数分解すると、$ 2025=5^2 \times 3^4 です。
この式から、
$ \log_k 2025=\log_k(5^2 \times 3^4)=\log_k 5^2+\log_k 3^4
$ =2\log_k 5+4\log_k 3
となるので、
$ \frac{1}{x} = \frac{2}{z} + \frac{4}{y}
両辺に $ xyz を掛けると、
$ yz=2xy+4xz
これを変形すると、
$ 2xy+4xz-yz=0
となります。よって、与えられた等式が成り立つことが示されました。
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いい解答hill_san.icon
$ x,y,z = 0のときでも、$ 2xy+4xz-yz=0は成り立つけども
このままだと$ x,y,z = 0のとき解が不定になってしまう
条件分けすべきhill_san.icon
2.5 Proでは言わなくても上手く処理してくれました