（趣味数学）No.2
ただのメモ書き テストには多分出ないです
無理数を足し合わせてきれいな有理数になるのが
ちょっと面白いです
位相が等差数列である三角関数の和は、
ラグランジュの三角恒等式で求めることが出来る
ラグランジュの三角恒等式（コサイン）
$ \sum_{k=0}^n \cos (\theta+k \phi)=\frac{\sin \left(\frac{(n+1) \phi}{2}\right) \cos \left(\theta+\frac{n \phi}{2}\right)}{\sin \frac{\phi}{2}}
例
$ \cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{5\pi}{7}=\frac12であることを証明せよ。
オイラーの公式より
$ \cos\theta=Re(e^{i\theta})と表せることから、
(与式)$ =Re(e^\frac{\pi i}{7}+e^\frac{3\pi i}{7}+e^\frac{5\pi i}{7})
ここで、実部は初項$ e^\frac{\pi i}{7}、公比$ e^\frac{2\pi i}{7}、項数 3 の等比数列
とみなせるから、
初項a，公比r，項数n の等比数列の和は、（$ r \neq 1のとき）
$ \frac{a(r^n-1)}{r-1}で表せることより、
$ =Re(\frac{e^\frac{\pi i}{7}(1-e^\frac{2\times 3\pi i}{7})}{1-e^\frac{2\pi i}{7}})
$ = Re(\frac{1+\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}}{1-\cos\frac{2\pi}{7}-i\sin\frac{2\pi}{7}})
$ \frac{C+Di}{A+Bi}の実部は$ \frac{AC+BD}{A^2+B^2}であるから、
なんやかんやありまして（地味な計算）
（与式）$ =\frac{1-\cos\frac{2\pi}{7}}{2-2\cos\frac{2\pi}{7}}=\frac12
https://scrapbox.io/files/66cb52b7dfa10d001c8f36f8.png
となり、証明終了◇