指数関数・対数関数の問題（趣味数学）
$ (1) \space 9^x + 21^x = 49 ^xを満たす実数$ xをすべて求めよ。
【解説】
$ 3^x = a,\space 7^x = bとすると、
（与式）
$ \Leftrightarrow (3^x)^2 + 3^x\cdot7^x = (7^x)^2
$ \Leftrightarrow a^2 + ab = b^2
（注）ここで、$ b^2= (7^x)^2は実数$ xの値にかかわらず
常に正であるため$ b^2で割る操作ができる。
両辺を$ b^2で割ると、
$ \Leftrightarrow \left(\frac{a}{b}\right)^2 + \frac{a}{b} = 1
ここで、$ \frac {a}{b} = cとおいて、
$ \Leftrightarrow c^2 + c = 1
これを解いて、
$ c = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}
$ \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}
$ \Leftrightarrow \left(\frac{3}{7}\right)^x = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} (*)
ここで、$ (*)の左辺は実数$ xの値にかかわらず、
常に正であるため、右辺の$ \frac{-1-\sqrt{5}}{2}(\leq0)は不適。
よって、
$ \left(\frac{3}{7}\right)^x = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}
$ xについて解くと、
$ x = \log_{\frac{3}{7}} \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)
または、
$ x = \log_{\frac{7}{3}} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)=0.567937...
Answer：
$ x = \log_{\frac{7}{3}} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)=0.567937...
解の個数がただ1つであることの証明
シンプルな方法があれば教えてほしいです
【方針】
与式を変形して、関数として考えると、
$ f(x) = 49^{x}-21^{x}-9^{x}
この式を$ xで微分すると、
$ f'(x) = 49^x \ln(49) - 21^x \ln(21) - 9^x \ln(9)である。
各項の増加率の大小関係より、
$ f(x)は単調増加関数であることが分かる。
単調増加関数は高々一つの零点しか持たないため、
$ 9^x + 21^x = 49 ^xは一つの実数解しか持たないことが分かる。
https://scrapbox.io/files/667bfb6273e284001c747334.png
$ (2) \space \log_{x^2-1}(x+5)\leq1を満たす実数$ xを求めよ。
対数関数の真数の定義域（真数$ >0）より、$ x+5>0
よって、$ x>-5
対数関数の底の定義域（底$ >0, 底$ \neq1）より、$ x^2-1>0 \space, x^2-1 \neq 1
よって、$ x<-1,\space 1<x, \space x\neq\pm\sqrt{2}
ゆえに、$ -5<x<-\sqrt{2}, \space -\sqrt{2}<x<-1, \space 1<x<\sqrt{2}, \space \sqrt{2}<x …①
与式より、$ \log_{x^2-1}(x+5)\leq\log_{x^2-1}(x^2-1)
$ {\tt i)} \space {x^2-1}>1のとき、すなわち$ x<-\sqrt{2}, \space \sqrt{2}<x…②のとき、
$ x+5 \leq x^2-1より、$ x^2-x-6 \geq 0
よって、$ x\leq -2, \space 3\leq x
①、②より、$ -5<x\leq -2, \space 3\leq x
（注 0 < 底 < 1のとき、不等号の向きが逆転する。）
$ {\tt ii)} \space 0<{x^2-1}<1のとき、
$ \log_{x^2-1}(x+5)\leq1
https://scrapbox.io/files/667c4daea36f7f001cc81d05.png
Answer:
$ -5<x≦-2, -\sqrt2<x<-1,
$ 1<x<\sqrt2, 3≦x
書くの面倒くさくなってきた（）