マルコフの不等式

$ xを非負の確率変数とする。任意の非負の実数$ aに対して次式が成り立つ。

$ \mathrm{Pr}(x \ge a) \le \frac{E[x]}{a}

証明:$ xの確率密度関数を$ p(x)とすると

$ E[x] = \int_0^\infty x p(x) dx = \int_0^a x p(x) dx + \int_a^\infty x p(x) dx

$ \ge \int_a^\infty x p(x) dx \ge a \int_a^\infty p(x) dx = a \mathrm{Pr}(x \ge a)

よって $ \mathrm{Pr}(x \ge a) \le \frac{E[x]}{a}