平方数の逆数の和に円周率が出てくる理由

$ \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}の理由

https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls

平方数の逆数の和に円周率が出てくる理由

https://gyazo.com/b115c1a503944a5d14fbd56ca40ed19e

斜辺をcとする

三角形の面積は2通りの方法で表現できる

$ a b /2= c h/2

$ a^2 b^2 = c^2 h^2

$ a^2 b^2 = (a^2 + b^2) h^2

$ 1 / h^2 = (a^2 + b^2) / a^2 b^2 = a^2 / a^2 b^2 + b^2 / a^2 b^2 = 1 / a^2 + 1 / b^2

https://gyazo.com/40b2d670517f37be8ec7f83a9140f6ca

直径がdである時円周はpi d

円周が2なので直径は 2/pi

逆二乗なのでpi^2 / 4

https://gyazo.com/3bc1d678b627e00b35b7c8245cf81083

2倍の直径、2倍の円周の、1/2の中心角に対する弧長なので同じ長さ

https://gyazo.com/7df0828d0a86b01f13b3254ca2309472

中心角が1/2であることの説明

https://gyazo.com/52878dfb20875edcddae000b4e7f6b7a

奇数の平方数の和がpi^2/8なのがわかった

平方数の和がSとすると、偶数の平方数の和は1/4 S

基数の平方数の和はS - 1/4 S= 3/4 S

なので$ S = \frac{\pi^2}{8} \frac{4}{3} = \frac{\pi^2}{6}