ラグランジュの平均値の定理

$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a}=f'(c)

2つの実数$ a < b

関数$ f(x)

閉区間$ [a, b] で連続

開区間 $ (a, b) で微分可能

このとき開区間 $ (a, b) 上に、ある点 $ c が存在して以下が成り立つ:

$ \frac{f(b) - f(a)}{b - a}=f'(c)

これを微分に関するラグランジュの平均値の定理という。

別表現として、ある $ 0 < \theta < 1が存在して

$ f(a + h) = f(a) + h f'(a + \theta h)

以下の書き換えが行われているだけ$ b = a + h, c = a + \theta h

ラグランジュの平均値の定理により $ \log(1 + x) = \frac{x}{1 + \theta x}

なぜなら

$ a = 1, h = x として

$ \log(1+x) = \log(1) + x \log'(1 + \theta x)

$ \log'(x) = 1/x, \log(1) = 0なので

$ \log(1 + x) = \frac{x}{1 + \theta x}

log(x)はx=0で微分できないので、xの絶対値は1より小さいことが必要