テイラー展開

テイラー展開とは

点 a を含む開区間 I ⊆ R 上で無限回微分可能な実数値関数 f ∈ C∞(I) が与えられたとき、べき級数

$ \sum _{n=0}^{\infty } {\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}

を関数 f の点 a まわりのテイラー級数といい、テイラー級数が収束してfに一致するとき、fはテイラー展開可能である、という。

$ \log(1+x) = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad

f(x) = log(1 + x)

f'(x) = 1/(1 + x)

f''(x) = -1 * (1 + x)^(-2)

f'''(x) = -1 * -2 * (1 + x)^(-3)

f^(n)(x) = (-1)^(n+1) (n - 1)! (1 + x)^(-n

a=0

$ {\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}}

f(x) = log(1 - x)

f'(x) = -1 / (1 - x)

f''(x) = -1 * -1 * -1 * (1 + x)^(-2)

f'''(x) = -1 * -1 * -1 * -2 * -1 * (1 + x)^(-3)

f^(n)(x) = (n - 1)! (1 + x)^(-n)

a=0

これを使って2次までで近似すると

$ \log(1+x) \approx x - {1 \over 2} x^2

$ \log(1-x) \approx -x - {1 \over 2} x^2