F値はなぜ調和平均なのか

F値はなぜ調和平均なのか

F1 = 2 * (precision * recall) / (precision + recall)

最大1最小0

precision == recall の時にはF値も同じ値

precision と recall のどちらかが0の時にはF1も0になる

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TP: True Positive

FP: False Positive

FN: False Negative

TN: True Negative

Precision:

$ P = \frac{TP}{TP+FP}

Recall:

$ R=\frac{TP}{TP+FN}

逆数の和

$ \frac{1}{P} + \frac{1}{R} = \frac{2TP+FP+FN}{TP}

F1 scoreはPとRの調和平均

$ F1 = \frac{2 P R}{P + R} = \frac{2 \frac{TP}{TP + FP} \frac{TP}{TP + FN} }{\frac{TP}{TP + FP} +\frac{TP}{TP + FN}} = \frac{2 TP}{(TP + FN) + (TP + FP)} = \frac{2 TP}{2TP + FN+ FP}

$ \frac{2}{\frac{1}{P} + \frac{1}{R}} = \frac{2TP}{2TP + FP + FN}

$ E = \frac{FP + FN}{2TP + FP + FN}

F1とEを足すと1: F1 + E = 1

Fβスコア

$ F_\beta = \frac{(1 + \beta ^ 2) TP}{(1 + \beta^2) TP + \beta^2 FN + FP}

$ \frac{1}{P} + \frac{\beta^2}{R} = \frac{(TP+FP)+\beta^2(TP+FN)}{TP}

$ F_\beta = \frac{(1 + \beta ^ 2) TP}{(1 + \beta^2) TP + \beta^2 FN + FP} = \frac{1+\beta^2}{\frac{1}{P} + \frac{\beta^2}{R}}

係数は省略してZと書くと

$ \frac{\partial F_\beta}{\partial R} = Z \frac{\beta^2}{R^2}, \frac{\partial F_\beta}{\partial P} = Z \frac{1}{P^2}

勾配が一致するということは「PやRを同じだけ動かした時のスコアに対する影響が同じ」ということ。

RがPよりβ倍大きいときに均衡するということ？