セグメント木の可視化

セグメント木の概念を、単純なセグメント木だけではなく双対セグメント木や遅延伝搬セグメント木まで通じて整理したい

Pythonであることを生かして、二項演算や作用はハードコードせずに引数として渡す

理解が目的なので速度のことは気にしない

1-origin、サイズは2ベキ

ここの解説とソースのdocが食い違っている時はソースの方が正しい、doctestで回帰テストしてるから。

下記ではセグメント木、双対セグメント木、遅延伝搬セグメント木、までを実装してAOJのテストケースでベリファイしているが、遅延伝搬セグメント木に関してはTLEしていて、柔軟な設計のせいでTLEしてるのかアルゴリズム的に何か間違えてるのかはまだ識別できてない

IDはこういう順番になっている

code:python

>> debugprint(range(SEGTREE_SIZE))

| 1 |

| 2 | 3 |

| 4 | 5 | 6 | 7 |

| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |

|16|17|18|19|20|21|22|23|24|25|26|27|28|29|30|31|

配列が与えられたときに隣り合うものに二項演算をかけながらO(N)で構築できる

ここでは和を求めてる、この構築された木を使って範囲の和が高速に求められる

code:python

>> table = None * SEGTREE_SIZE

>> set_items(table, range(16))

>> full_up(table, lambda x, y: f"{x}+{y}")

>> debugprint(table, 3)

| 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 |

| 0+1+2+3+4+5+6+7 | 8+9+10+11+12+13+14+15 |

| 0+1+2+3 | 4+5+6+7 | 8+9+10+11 | 12+13+14+15 |

| 0+1 | 2+3 | 4+5 | 6+7 | 8+9 | 10+11 | 12+13 | 14+15 |

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| 12| 13| 14| 15|

点更新

末端の値に関数を掛ける(作用と呼んだりする)

親に作用を伝搬していくことがlogNでできる

例えば末端を+5すると、親も+5されるのでこれでセグメント木全体を正しく更新できる

code:python

>> point_update(table, 3, lambda x: f"f({x})")

>> debugprint(table, 4)

| f(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15) |

| f(0+1+2+3+4+5+6+7) | 8+9+10+11+12+13+14+15 |

| f(0+1+2+3) | 4+5+6+7 | 8+9+10+11 | 12+13+14+15 |

| 0+1 | f(2+3) | 4+5 | 6+7 | 8+9 | 10+11 | 12+13 | 14+15 |

| 0 | 1 | 2 |f(3)| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |

別のパターン

末端の値が、以前の値と無関係に設定される

この場合、親が2つの子の二項演算をやりながら上に伝搬していけばよい

変化を作用で表現できないケースもこちら

例えばmaxを取る演算で値が減少する時

値が増加しかしない時は「新しい値とmaxを取る」という作用でできる

値が減少する時max(x, y)を求めた後でxが0 になってもyの値が失われてるので戻せない

code:python

>> point_set(table, 3, "x", lambda x, y: f"{x}+{y}")

>> debugprint(table, 3)

| 0+1+2+x+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 |

| 0+1+2+x+4+5+6+7 | 8+9+10+11+12+13+14+15 |

| 0+1+2+x | 4+5+6+7 | 8+9+10+11 | 12+13+14+15 |

| 0+1 | 2+x | 4+5 | 6+7 | 8+9 | 10+11 | 12+13 | 14+15 |

| 0 | 1 | 2 | x | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| 12| 13| 14| 15|

max二項演算を上に伝搬していくデモ

code:python

# Point update, range max

>> table = 0 * SEGTREE_SIZE

>> set_items(table, range(16))

>> full_up(table, max)

>> debugprint(table)

| 15 |

| 7 | 15 |

| 3 | 7 | 11 | 15 |

| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |

|0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10|11|12|13|14|15|

>> set_item(table, 5, 99)

>> debugprint(table)

| 15 |

| 7 | 15 |

| 3 | 7 | 11 | 15 |

| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |

|0 |1 |2 |3 |4 |99|6 |7 |8 |9 |10|11|12|13|14|15|

>> up_propagate_from_leaf(table, 5, max)

>> debugprint(table)

| 99 |

| 99 | 15 |

| 3 | 99 | 11 | 15 |

| 1 | 3 | 99 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |

|0 |1 |2 |3 |4 |99|6 |7 |8 |9 |10|11|12|13|14|15|

範囲縮約

範囲に対して二項演算で縮約できる

Pythonだとreduce

Haskellだとfold系、Rubyだとinjectとか

セグメント木文脈ではRange sumとかRange maxみたいに具体的な二項演算を特定した表現をよく見る

「範囲内の複数の値に対して繰り返し二項演算を適用して1つの値にすること」を指す言葉が見つからなかったのでここでは範囲縮約と呼んでおく

メジャーな言い方ではなさげ

「畳み込み」と呼ぶ人もいる(多義語…)

二項演算は結合法則を満たす必要がある

加算、乗算、maxはOK

交換法則は満たさなくて良い

…ように実装できるが整数の加算、乗算、maxでは交換法則が成り立つので、成り立たなくても大丈夫な実装にしてない人もいるかもね

交換法則を満たさないケース

値が行列で二項演算が行列積の場合

ARC008_D

二項演算が$ T\times T→T ではなく $ T \times S→T なので交換できない

code:python

>> set_items(table, range(16))

>> full_up(table, lambda x, y: f"{x}+{y}")

>> range_reduce(table, 3, 11, lambda x, y: f"{x}+{y}", unity="0")

'0+3+4+5+6+7+8+9+10+0'

# Bin-op must be associative

>> range_reduce(table, 3, 11, lambda x, y: f"({x}+{y})", unity="0")

'(((0+3)+4+5+6+7)+(8+9+(10+0)))'

点更新と範囲縮約の組み合わせで点更新と範囲和ができる

code:python

>> table = 0 * SEGTREE_SIZE

>> set_items(table, range(16))

>> full_up(table, lambda x, y: f"{x}+{y}")

>> debugprint(table)

| 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 |

| 0+1+2+3+4+5+6+7 | 8+9+10+11+12+13+14+15 |

| 0+1+2+3 | 4+5+6+7 | 8+9+10+11 |12+13+14+15|

| 0+1 | 2+3 | 4+5 | 6+7 | 8+9 |10+11|12+13|14+15|

|0 |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10|11|12|13|14|15|

>> point_update(table, 5, lambda x: f"{x}+99")

>> debugprint(table)

| 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+99 |

| 0+1+2+3+4+5+6+7+99 | 8+9+10+11+12+13+14+15 |

| 0+1+2+3 | 4+5+6+7+99 | 8+9+10+11 | 12+13+14+15 |

| 0+1 | 2+3 | 4+5+99 | 6+7 | 8+9 | 10+11 | 12+13 | 14+15 |

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |5+99| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |

>> range_reduce(table, 3, 11, lambda x, y: f"{x}+{y}", "0")

'0+3+4+5+6+7+99+8+9+10+0'

双対セグメント木

範囲更新、点取得にできる

範囲更新

left以上right未満の範囲に対して作用を掛ける

末端の要素に対してかけないことでlogNオーダーになっている

code:python

>> table = "" * SEGTREE_SIZE

>> set_items(table, range(16))

>> range_update(table, 1, 11, lambda x: f"f")

>> debugprint(table)

| |

| | |

| | f | | |

| | f | | | f | | | |

|0 |f |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |f |11|12|13|14|15|

>> range_update(table, 3, 15, lambda x: f"{x}g")

>> debugprint(table)

| |

| | |

| | fg | g | |

| | f | | | f | | g | |

| 0 | f | 2 | 3g| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | f | 11| 12| 13|14g| 15|

これを使って、範囲更新で(+1)と(+2)の作用を範囲に適用する

code:python

>> table = 0 * SEGTREE_SIZE

>> range_update(table, 1, 11, lambda x: x + 1)

>> debugprint(table, maxsize=4)

| 0 |

| 0 | 0 |

| 0 | 1 | 0 | 0 |

| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |

|0|1|0|0|0|0|0|0|0|0|1|0|0|0|0|0|

>> range_update(table, 3, 15, lambda x: x + 2)

>> debugprint(table, maxsize=4)

| 0 |

| 0 | 0 |

| 0 | 3 | 2 | 0 |

| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 2 | 0 |

|0|1|0|2|0|0|0|0|0|0|1|0|0|0|2|0|

5番目の値が欲しいとき、親からそこまで下向きに作用を伝搬させれば良い

code:python

>> down_propagate_to_leaf(table, 5, add, 0)

>> debugprint(table, maxsize=4)

| 0 |

| 0 | 0 |

| 0 | 0 | 2 | 0 |

| 0 | 1 | 0 | 3 | 1 | 0 | 2 | 0 |

|0|1|0|2|3|3|0|0|0|0|1|0|0|0|2|0|

>> down_propagate_to_leaf(table, 9, add, 0)

>> debugprint(table, maxsize=4)

| 0 |

| 0 | 0 |

| 0 | 0 | 0 | 0 |

| 0 | 1 | 0 | 3 | 0 | 2 | 2 | 0 |

|0|1|0|2|3|3|0|0|3|3|1|0|0|0|2|0|

双対セグメント木の下への伝搬

作用が可換でないなら範囲作用の前に下への伝搬が必要

続き遅延伝搬セグメント木の可視化

Verified

DSL_2_A Range Minimum Query (RMQ)

code:python

def main():

N, Q = map(int, input().split())

depth = N.bit_length() + 1

set_depth(depth)

table = INF * SEGTREE_SIZE

for _q in range(Q):

q, x, y = map(int, input().split())

if q == 0:

# update

point_set(table, x, y, min)

else:

# find

print(range_reduce(table, x, y + 1, min, INF))

DSL_2_B Range Sum Query

code:python

def main():

from operator import add

N, Q = map(int, input().split())

depth = N.bit_length() + 1

set_depth(depth)

table = 0 * SEGTREE_SIZE

for _q in range(Q):

q, x, y = map(int, input().split())

if q == 0:

# add

point_update(table, x, lambda x: x + y)

else:

# sum

print(range_reduce(table, x, y + 1, add, 0))

DSL_2_D Range Update Query

DSL_2_E Range Add Query

code:python

def main():

from operator import add

N, Q = map(int, input().split())

depth = N.bit_length() + 1

set_depth(depth)

table = 0 * SEGTREE_SIZE

for time in range(Q):

q, *args = map(int, input().split())

if q == 0:

# update

s, t, value = args

range_update(table, s, t + 1, lambda x: x + value)

else:

# find

print(down_propagate_to_leaf(

table, args0, add, 0))