空中のへや_幅5
sは解の個数を表す。
図の見方
右下のマス：へやに入る黒マスの数
黒色/緑色のマス：黒マス/白マスと確定するマス
「B」と書かれたマス：そのマスが黒マスになる配置が1通りだけある。そのマスが黒マスになることが確定したとき、へや全体の黒マスの配置が確定する。
「W」と書かれたマス：そのマスが白マスになる配置が1通りだけある。そのマスが白マスになることが確定したとき、へや全体の黒マスの配置が確定する。
「BW」と書かれたマス：BとWの性質を同時に満たす。
11in5x5 s=10
https://gyazo.com/d68068a0267e9d9c2aeddc11e3a2ea7b
パターンは大きく2つに分けられる。
パターンA…中央が白。図のA1からA8のうち1マスだけ白で残りが黒。計8通り。
https://gyazo.com/608f545fe2f28bf3482ff13b140b7958
パターンB…中央が黒。図とこれの90度回転の、計2通り。
https://gyazo.com/23912959a3037b36c4c8887a4b6dc104
15in7x5 s=19
https://gyazo.com/e46e4e7271690ae2b23be0091ae6caf6
左中右3x5,1x5,3x5に分けると、6+2+7か7+1+7しかあり得ない。（9in4x5を考慮すると、6+3+6が破綻する）
6+2+7 A1-A5のうち4マスが黒。左右反転形も含めs=10。
https://gyazo.com/b6dfc341b6cff00d4a1affab7a7a52ee
7+1+7 A 中央が黒マスのとき1通り。
https://gyazo.com/040029c86612ef87210c4dd1d0280cad
7+1+7 B B1,B2の一方が黒。C1-C2の一方が黒。上下反転形も含め、s=2*2*2=8。
https://gyazo.com/1482e14d1a26f2b8d77dcc55b1d5d973
以上、10+1+8=19通り。
15in7x5の19通りの解のうち、「へやわけの解答盤面の一部になってしまうと、別解が必ず出てしまう配置」がある。
以下、このような配置を「不可能配置」と呼ぶことにする。
不可能配置は、唯一解で追加ルールのないへやわけの問題には、存在しえない。
不可能配置の例1
https://gyazo.com/46e7e563295dc3086245d73b92a56e7e
この配置が解答のとき、Xの黒マスをYに移動した解も、分断禁などのへやわけのルールを全て満たす。この配置がへやわけの問題に含まれる時点で、その問題は唯一解ではありえず、不可能配置である。
不可能配置の例2
https://gyazo.com/83e7d7f331c4129b466b545d1d92ef77
図は、6+2+7型のA2が白マスである配置である。回転などをすることで、同様の配置は計4通りある。いずれも、X1の黒マスをY1に移動しても解を満たすため、不可能配置である。
さらに、このY1に移動した後の配置もまた不可能配置である（X2→Y2とする解があるため）。
よって、合わせて2+4(A2白)+4(A2白、X1白)=10通りの不可能配置が存在する。
つまり、空中の15in7x5が唯一解のへやわけの問題に含まれるとき、（追加ルールなどが無ければ）、実際には19通りのうち以下の9通り(1+6+2通り)の配置しかありえない。
https://gyazo.com/040029c86612ef87210c4dd1d0280cad
https://gyazo.com/d824fb41a498e7efe0a1bcdaea3e09fc
https://gyazo.com/776d8b04f71dd32003b193b89d7dcaa7
空中(4k+1)in(2k)x5
一般に、空中(4k+1)in(2k)x5は、下図と、それを上下反転した、2通り。
https://gyazo.com/ca9eb92ce12289d8036a1032902e6f42
証明: へやを横線でカットし、2x5ずつのブロックに分ける。隣り合うブロックにそれぞれ5個・4個入れると、入れ方は1通り。また、順に5,3,5個と入れようとしても入らない。5,4,3,5個も同様。さらに、4,5,4個も入らない。合計4n+5個入れるためには、上記の入らないパターンを全て避けると、5,4,4,...,4,4しかあり得ない。（5,2,5を作っても別の5個入りブロックが必要になる）