LITS

盤面中にある部屋の数をnとし、最も小さい部屋の面積をmとする。出来るだけ大きいmで唯一解問題にする。

n=3

4×4の唯一解問題を作る。

ミレイ氏によって全パターンの探索がなされている。20240407

3領域問題が15種類、2領域問題が2種類存在する。

2領域問題の探索の方針は以下。

https://gyazo.com/4b4830e1067eac42184de98211866116

少なくともどちらか一方の領域は盤面端の1列を丸々占有するLペントミノを含むことが分かる

一方の領域が「4×2の長方形から隅を1マス削った形のヘプトミノ」を含む場合、もう一方の領域の置き方がどうであれ複数解

画像は、どうであれ複数解であることの図示。

これで65536通り→1536通りまでは絞り込めるので、プログラムで簡単に判別できる除外対象を弾きつつ残りを全探索

上記コメントは抜粋である。また、一方がヘプトミノを含む場合、厳密には「もう一方」の領域がより小さい場合の考慮も必要である。4×3と4×1に分割した盤面など。これらを考慮してもなお2種類と思われる。

黒マスの数を最大化する。

0解でなければ可とする。

以下はPuzsq Meetsにおける凍み豆腐程度の能力、fff、Calcogen氏などによる考察(20230718)を含む。掲載20230718

2x2に最低1マス白マスがあるため、

mxnには最大で

(3/4)mnマス黒マスが入る。（m,nが偶数）

(3/4)mn+m/4 マス黒マスが入る。（mが偶数、nが奇数）

(3/4)mn+(m+n-1)/4 マス黒マスが入る。（m,nが奇数）

以下、a in mxn でmxnの盤面にaマス黒マスを入れたことを表す。aは4の倍数。

4in1x4(最密) author: 信号無視

4in3x3(最密)は唯一解にできない。8in3x3は不可能。

20in3x9(最密) author: 米払一次郎 出題20220103

12in4x4(最密) author: 4G@きずふぃろ 出題20200913

16in5x5(最密？)

略

20in5x5が可能か？は未解決。

12n in 3nx5(nは自然数)(最密) author: 凍み豆腐程度の能力　左6行を繰り返して左へ伸ばし、nが偶数の時は右3行を削ればよい。

24in6x6(最密) author: Calcogen

https://gyazo.com/85f4cc382e563a185fc676cdd2cbb67c

これを解にもつ問題は唯一解にできない。（右上のTがSになる複数解が必ず存在する）

縦横に敷き詰め、(2/3)nm in mxn(mは6の倍数、nは偶数)が実現。

36in7x7(最密)の一例

40in7x7について、以下の考察を行うことができる。

https://gyazo.com/81f9848fa5d99506fe5be04b536e8030

7x7に40個の黒マスを詰めるには、上の白マスをすべて黒マスにする必要がある。

Aが16個・xが24個で、この差8個を埋めるにはTを最低4個入れなければならない。残りはLとI合計6個で埋める。（にしなんとか）

角のAはTに属さず、隣り合うAが両方Tに属することもない。

R3C5にTを入れるとLIが7個必要（1個のLIでは隣り合ったAしか占めないから）（utime）

https://cdn.discordapp.com/attachments/1056346602190684180/1131530983343132693/image0.png

https://gyazo.com/499ba6f9cd3aceca01684af051774815

中央にTがなければT4個の場所が決まるがこれも不適と分かる。

よって40in7x7は存在しない。

48in8x8(最密) author: 鷹野リン 出題20230418

60in9x9(最密？)

72in10x10(最密) author: hotatenohontate

92in11x11(最密) author: fff

https://gyazo.com/7a4b5fd600581df84a7cd30f7e2b65da

また、(4n-1)x(4n-1)について、以下の考察を行うことができる。（fff,凍み豆腐程度の能力,にしなんとか）

(4n-1)×(4n-1)の最密3n^2-nミノはn>=4で不可能。

証明：そのような充填が存在すると仮定する。

x-A=4n(n-1)である（x,Aは、上記の40in7x7の考察のようにAとxのマスを決めたときの、それぞれのマス数）から、Tミノが2n(n-1)個必要。

このうち、辺に置けるTミノの個数は最大で4(n-1)個。これらは3個のLかIに接する。

残りの(2n-4)(n-1)個は4個のLかIと接する。

したがって、LIとは少なくとも3*4(n-1)+4*(2n-4)(n-1)=4(2n-1)(n-1)ヶ所で接触する。

ここで、LとIは高々4個のTミノにしか接することができない。LとIがn(n+1)個であるから、

4(2n-1)(n-1)<=4×n(n+1) が必要。よって(n-2)^2<=3で、この不等式はn>=4で成り立たない。

n=1,2(3x3,7x7)は個別に示されている。

n=3(11x11)では、x-A=60-36=24より、Tは12個。LIは12個。

Tは端8中央4で8*3+4*4=40の接触が最低でも必要だが、

LIは（隅に4個辺に最低4個あるので）222233334444→36回しかTと接触できない。これは矛盾。（utime）

したがって96in11x11は存在せず、92in11x11が最密。

盤面が十分大きいとき、以下の充填で盤面を3/4オーダーで占めることができる。（utime）

https://gyazo.com/1cea5b835fe061bc7e8d1e8ad573db4d

未解決

以下の黒マスの最大値はいくつか。

5x5

nxn(n>=12)

2x3の領域をたくさん入れたり、規則的に並べたりして、唯一解にする。

2x3の領域数をrとする。

9x9, r=9 author:鷹野リン 掲載20240825出題20240104

10x10, r=12 LITS by はっちゅ 掲載20231020出題20230207

LITS by 鷹野リン 掲載20241103出題20241021

3x3の領域をたくさん入れたり、規則的に並べたりして、唯一解にする。

3x3の領域数をrとする。

4x4の領域をたくさん入れたり、規則的に並べたりして、唯一解にする。

すべての部屋を合同にして、唯一解にする。

(部屋のマス数)x(部屋数)

長方形領域のみで唯一解にする。

rを部屋数とする。同サイズの盤面では一般にはrを増やす方がより難しい。

5x9, r=4 author: 鷹野リン 掲載20221217出題20221123

10x10, r=8 author: 鷹野リン 掲載20221217出題20220619

10x10, r=9 author: 鷹野リン 掲載20221217出題20221118

12x12, r=15 author: @nisimuku_sen 掲載20231103出題20231103