全マス通過ループ
このページでは、「白マスをタテヨコに一度ずつ通るループを作る」ペンパの全体制約についてまとめる。
ペンパ横断的な全体制約がいくつか存在する。
ループが通るマス数は偶数。
偶数端点;領域をループが出入りする回数は偶数。
盤面全体で、ループが曲がるマスは偶数個。
両端から抜けていく線の本数と、ループが曲がるマスの偶奇は一致。
湾岸道路定石 縦線/横線は偶数回曲がっても縦線/横線のまま。奇数回曲がると入れ替わる。 Every Second Turn
ルール
すべてのマスを一度ずつ通るループを作る
白丸のマスは必ず「曲がり角」になる
ループに沿って一周するとき、「白丸の曲がり角」と「そうでない曲がり角」が交互に現れる
有向ループとして考えると、「白丸はすべてタテ→ヨコの曲がり角」か「白丸はすべてヨコ→タテの曲がり角」となる。
Detour
ルール
すべてのマスを一度ずつ通るループを作る
数字は、その領域内にある曲がるマスの数を表す
全体手筋
長方形部屋の内外定理(焼きもうふ)(twitter) 長方形の領域において、「領域内で曲がる個数」と「長方形の4頂点のうちループの内部(外部)にあるものの個数」の偶奇は一致する。 証明(twitter) 各マスの4頂点は、そのマスが曲がるとき、かつその時のみ、ループ内側に入る点が奇数個になる。各マスの総和をmod 2 で考えれば従う。 一般に、長方形部屋に限らず、「領域内で曲がる個数」と「その部屋の「角」(その部屋の辺が通っている格子点であって、その部屋のマスのうち1マスまたは3マスに触れるもの)(常に偶数個になる)のうちループの内部(外部)にあるものの個数」の偶奇は一致する。穴の開いた領域でも適用可能。
特に、0がある長方形領域の偶数辺の側では、内外が揃う。
大きな数字を入れ、唯一解にする。
9x10
最密(盤面の端から端までわたる1x9(奇数)では、奇数回直進するため)
10x10
最密(以下を参照)
曲がるマスを出来るだけ多くする。
nxn盤面(n>4)における、直進するマスの下限を以下に示す。
考察: @lilva_0419
n=4k→4kマス
隅の2x2は、4マス曲がると小ループができる。この領域で最低1マス直進する。
12マス領域でも、全て曲がると小ループになってしまう。
n=4k+2→4k+4マス
実際の構成 n=10で12,n=14で16。これ以上のサイズでも同様に構成できる。 バーンズ
ルール
すべてのマスを通るループを作る。太線は通れない。
白マスはちょうど一度通る。
水色マスのアイスバーンでは、一度通り、直進するか、または二度通り、直進(立体交差)する。
どのアイスバーンで交差するかは不明であり、パリティを考えて候補を絞っていく。
Sテトロミノ
図の5x5盤面の4マスの水色マスにおいて、盤面全体のパリティより、下のいずれかである。
Aで交差1マス、Bで交差0マス
Aで交差2マス、Bで交差1マス
いずれにせよAの方が交差する回数が1度多く、(Aのマスの数)=(Bのマスの数)であるので、
このあとループを全て描き、
p=(Aのマスを直進する線の本数)-(Bのマスを直進する線の本数)と定めると、
ループを描き終わったときp=1になる。
https://gyazo.com/4b7596fb624c9b3204d33f1912bbf337
直進する線の候補は1から5まである。p=1にしなければならないが、
2,4,5を通っても通らなくてもp=0のままである。
1を通るとpが1増え、3を通るとpが1減る。
よって以下が確定。全マス通過で3が通らないので4も通る。
https://gyazo.com/0e17c130a6c2760caa769a329ec18485
さらにこの盤面の別の場所にB水色マスがあっても、そこで交差は出来ない。
(別の場所にA水色マスがあると、そもそもp=1にならない)
Wペントミノ
以下の盤面も考えてみよう。
https://gyazo.com/82a5ac0d2a70d6547e2be2a548a836fc
パリティよりAの方が交差が1回多い。Aが2マス、Bが3マスだから、
p=(2+1)-3=0である。
このWペントミノの形ではpを増やしようがないため、pを減らす線を引いてはならない。
よってこう。
https://gyazo.com/95c0d43a3941d1c96014f0d3d307e738
正答例
https://gyazo.com/d75d1c800f41ec0b9799f16953eb5493
下のBを無視するとSテトロミノと同じ議論が出来る。
交差が確定するAマスが、Bマスから線の選択肢を奪う。
まとめると、盤面のパリティのために多く交差しなければならない方のマスをA、逆側をBとしたとき、
p=(Aのマス数+Bよりも交差が多い回数)-(Bのマス数) となる。
禁止形
以下のような禁止形がある。灰色のマスが水色でない限りこれは禁止形になる。
https://gyazo.com/c105a0e05b229da02ff69c0d312dd5f9
応用