OMC145
OMCおもしれ〜〜過去問埋めです
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どの辺が一番長いかはよく分かりませんが、余弦定理が適用できそうです。
$ \triangle{\mathrm{ABC}}について、$ \mathrm{AB} = 4, \mathrm{AC} = 50とすると、求めたい辺の長さ$ xについて、
$ x^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 + 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC} \cdot \cos{\angle{\mathrm{CAB}}}
$ x^2 = 2516 + 400 \cos{\angle{\mathrm{CAB}}}
よって、$ \cos{\angle{\mathrm{CAB}}}が求めたくなる。よく見ると三角形の面積も与えられているので、正弦関数を使った三角形の公式より、
$ 100 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 50 \cdot \sin{\angle{\mathrm{CAB}}}
$ \sin{\angle{\mathrm{CAB}}} = 1
$ \therefore \cos{\angle{\mathrm{CAB}}} = 0
以上より、
$ x^2 = 2516
今回は$ x^2をそのまま提出すれば良いのでこれでCA
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$ 1\mathrm{ABC}1という形の$ 5桁の数について、場合分けをして考えましょう。
(i) $ A=Cのとき
$ Aの選び方は、$ 1を除いた$ 0から$ 9までの数と等しいので、$ 9通り
$ Bの選び方は、$ Aと相異なる$ 0から$ 9までの数と等しいので、それぞれ$ 9通り
$ Cの選び方は、$ Aと等しい必要があるため、それぞれ$ 1通り
よって、$ 9 \times 9 \times 1 = 81通り
(ii) $ A \neq Cのとき
$ Aの選び方は、$ 1を除いた$ 0から$ 9までの数と等しいので、$ 9通り
$ Cの選び方は、$ 1を除いた$ 0から$ 9までの数と等しいので、それぞれ$ 9通り
ただし、$ A=Cは除くため$ 9通りは引く
$ Bの選び方は、$ Aとも$ Cとも相異なる$ 0から$ 9までの数と等しいので、それぞれ$ 8通り
よって、$ (9 \times 9 - 9) \times 8 = 576通り
よって、全体では、$ 81 + 576 = 657通り
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エスパーをしたくなります。
実験すると、
$ f(1) = 1
$ f(2) = 1
$ f(3) = 3
$ f(4) = 1
$ f(5) = 5
$ f(6) = 1
$ f(7) = 7
$ f(8) = 1
$ f(9) = 9
となり、
$ f(n) = \begin{cases} 1 & (n = \mathrm{even.}) \\n & (n = \mathrm{odd.}) \end{cases}
となることが予想されます。
一旦証明は置いておいてこれで$ \sum_{n=1}^{100}f(n)を計算すると、
$ 1から$ 100までの奇数の和は$ 2500である（$ 1から$ 50の総和を$ 2倍して、$ 1から$ 100までの総和から引けば良いです）
んぐ.icon初項$ 1、公差が$ 1の等差数列の$ a_i = 100となるような$ iまでの総和と考えても良さそう
$ 1から$ 100までの偶数の個数は$ 50である
よって、求める値は$ 2550である
これを提出するとCAする
証明
(a) $ nが偶数のとき、
$ n^2を$ n + 1で割ったあまりは$ 1である（合同式で簡単に示せます）
んぐ.icon一応解説しておきましょう
$ n^2 \equiv 1 \pmod{n + 1}を示す。
$ (\mathrm{LHS}) \equiv n(n + 1) - n \equiv -n \equiv -n + (n + 1)\equiv 1 = (\mathrm{RHS}) \pmod{n + 1}
よって、
$ f(n) \equiv n^n \equiv \left( n^2 \right)^{n/2} \equiv 1^{n/2} \equiv 1 \pmod{n + 1}
(b) $ nが奇数のとき
$ f(n) \equiv n^n \equiv n \times n^{n - 1} \equiv n \times (n^2)^{(n - 1)/2} \equiv n \times 1 \equiv n
よって、命題は真
余談
$ n=9を試さず、「素数のとき$ nやろ！」と考え破滅