角谷の不動點定理
$ S\subset\R^n,$ S\ne\varnothingがcompact (位相)で凸集合であるとする。集合値寫像$ \phi:S\to 2^S,$ \forall x_{\in S}~\phi(x)\ne\varnothingに就いて考へる $ \phiが、$ S上で上半連續で、かつ全ての$ x\in Sに對して$ \phi(x)\ne\varnothingかつ$ \phi(x)が閉集合でかつ凸集合であれば、$ \phiは不動點$ a\in\phi(a)をもつ 上半連續 (hemicontinuity)
$ \phiが、閉 graph で、かつ全ての$ x\in Sに對して$ \phi(x)が凸集合であるならば、$ \phiは不動點$ a\in\phi(a)をもつ 閉 graph (closed graph)
集合値函數$ \phi:2^X\to Yが閉 graph であるとは
定義 1 :$ X\times Yに積位相を入れた空閒に於いて、集合$ \{(x,y)|y\in\phi(x),x\in X\}が閉集合である事を言ふ 定義 2 : 點列$ \{x_n\in X\}_{n\in\N},$ \lim_n x_n=x\in Xと點列$ \{y_n\in Y\}_{n\in\N},$ \lim_n y_n=y\in Yが、もし$ \forall n~y_n\in\phi(x_n)であるならば$ y\in\phi(x)である事を言ふ