決定理論に於ける不可能性定理
Arrow の不可能性定理
選好對象を$ x,y,z,\dotsとし、社會の主體$ iに於ける社會選好關係を$ xR_iyと書く 以下の 5 つの條件を滿たす社會厚生函數$ F:R_1\times...\times R_n\to Rは存在しない
社會選好關係$ Rの推移律$ xRy\land yRz\to xRzと完備性$ xRy\lor yRx 定義域の全域性$ \forall x,y(xRy\lor yRx)
完備性と一緖?
Pareto 原則$ \forall i(xR_iy)\to xRy
選好對象の獨立性$ \forall x,y\neg\exist z((zRx\to\square(xRy))\lor(xRz\to\square(xRy)))
非獨裁性$ \neg\exist i(xR_iy\to\square(xRy))
候補が二個の場合は成立しない
May の定理
liberal paradox (Sen の paradox)
假定
全員は全ての選擇肢に就いて推移的な選好を示す
以下の三つを鼎立する選好を集約する一般的な方法は無い
U (the unrestrictedness condition)
各人の全ての可能な選好と、全ての集約方法とその結果は等しく考慮される。無視される個人の選好の可能性、無視される集約方法、無視される集約結果は無い
P (the Pareto condition)
全員の選好が$ x\le_i yであれば集約された選好でも$ x\le yである
L (liberalism)
各人は己の選好に依って、集約された選好の少なくとも一部を變更できる。集約された選好に影響を及ぼせない個人はゐない
戰略投票
Gibbard の定理
選擧方法は以下の三つを同時に排除できない
獨裁的
二つの候補以外を排除する
戰略投票が可能 (耐戰略性の無さ)
Gibbard-Satterthwaite の定理
三つ以上の候補から有權者の選好順序のみで一つを選ぶ場合、選擧方法は以下の三つは鼎立しない
非獨裁的$ \exist i(x<_iy\to\square(x<y))
排除される候補がゐない$ \neg\exist x\square\forall y(x<y)
戰略投票が不可能 (耐戰略性)
選擧方法は以下の四つを同時に排除できない
全有權者の非匿名性
特定候補の排除
Every voter's top preference is in the set of winners. The third condition requires many candidates to "tie" for the win.
すべての有権者の最優先は勝者のセットにあります。3 番目の条件では、多くの候補者が勝利のために「引き分け」する必要があります。
戰略投票が可能 (耐戰略性の無さ)
Myerson-Satterthwaite の定理
定義
賣り手 (seller)$ Sと買ひ手 (buyer)$ Bがゐる
賣り手も買ひ手も價格決定の手順を知ってゐる
財に賣り手と買ひ手は個別に祕密に値附けする。それぞれを$ v_S、$ v_Bと書く
賣り手は$ v_Bを知らず、確率密度函數$ f_B:\lbrack\underline B,\overline B\rbrack\to\lbrack 0,1\rbrackを想定してゐる。賣り手は$ v'_Sを報吿する
賣り手は$ v_Sを知らず、確率密度函數$ f_S:\lbrack\underline S,\overline S\rbrack\to\lbrack 0,1\rbrackを想定してゐる。買ひ手は$ v'_Bを報吿する
trade-probability function$ t(v'_B,v'_S)は賣り買ひが成り立つ確率を表す
price function$ p(v'_B,v'_S)は買ひ手が賣り手に支拂ふ事になる金額を表す
賣り手の利益は$ U_S(v_S,v'_S)=\int^{\overline B}_{\underline B}p(v'_S,u_B)f_B(u_B){\rm d}u_B-v_S\int^{\overline B}_{\underline B}t(v'_S,u_B)f_B(u_B){\rm d}u_Bと自然に計算される
買ひ手の利益は$ U_B(v_B,v'_B)=v_B\int^{\overline S}_{\underline S}t(u_S,v'_B)f_S(u_S){\rm d}u_S-\int^{\overline S}_{\underline S}p(u_S,v'_B)f_S(u_S){\rm d}u_Sと自然に計算される
以下の二つを假定する時
閉區閒$ \lbrack\underline B,\overline B\rbrackと$ \lbrack\underline S,\overline S\rbrackの交叉は空でない
確率密度は上記の區間で嚴密に正$ >0である
以下の四條件 (IR、WBB、NEIC、PE) は全立しない
individual rationality (IR)
賣り手にも買ひ手にも期待値は非負である (取り引きに參加する incentive が有る)$ U_S(v_S,v_S)\ge 0且つ$ U_B(v_B,v_B)\ge 0
競り (auction) に參加するだけで損する者がゐない
弱い均衡豫算 (WBB。weak balanced budget)
賣り手の買ひ手も取り引きを成り立たせる爲に借金しなくてよい
競りの參加者 (auctioneer) は赤字にならず、黑字になる
より強い條件
強い均衡豫算 (SBB。strong balanced budget) : 全ての金銭授受は賣り手と買ひ手の閒で行はれ、競りの參加者は赤字にも黑字にもならない
Nash 均衡 incentive compatibility (NEIC。Nash equilibrium incentive compatibility)
賣り手にとっても買ひ手にとっても、相手が眞の値附けを報吿する場合の最善手は自分も眞の値附けを報吿する事である。噓を吐きたがる者はゐない$ \forall v'_S(U_S(v_S,v_S)\ge U_S(v_S,v'_S))且つ$ \forall v'_B(U_B(v_B,v_B)\ge U_B(v_B,v'_B))
全ての參加者が眞の値を報吿する事が Nash 均衡になる。一人を除き全員が正直である場合、それでも正直者は正直であるのが最善である
incentive compatibility (IC) (truthfulness (TF)、strategy-proofness) の一種
事後の Pareto 效率性 (PE。ex-post Pareto efficiency)
最高の値を附けた者に財が渡るべきである。若し$ v_B>v_Sならば$ t(v_B,v_S)=1であり、且つ若し$ v_B<v_Sならば$ t(v_B,v_S)=0である
economic efficiency (EE) : 總社會福祉 (全ての參加者の得る價値の合計) は最高になるべきである。特に競りに於いては、全ての取り引きが終はったら、財は最高の値を附けた者の手に渡ってゐるべきである
Holmström の定理
假定
參加者は risk 中立 (期待値通りに行動する)
參加者の、期待報酬から努力への函數は單調増加な凹函數
經營 (報酬の決定權) と執行 (努力の決定權) は分離されてゐる
以下の三つを鼎立する報酬制度 (incentive system) は存在しない
收入と支出が等しい (強い均衡豫算。SBB (strong balanced budget))←→報酬を拂ひ過ぎて赤字、或いは報酬豫算が餘る
世代閒衡平に於ける Diamond の不可能性定理
定理 : 世代閒衡平性の公理と弱い Pareto 原理を滿足しつつ、直積位相に關する連續性をもつ世代閒效用流列の評價順序は、論理的に存在しない
世代閒衡平性 (intergenerational equity) の公理 :$ \forall\pi_{\in\Pi^{\bf F}_N}\forall{\bf u}_{\in X}((\pi\circ{\bf u})I(R){\bf u})
弱い Pareto 原理 :$ {\bf u}\ge{\bf v}\to{\bf u}R{\bf v}。$ {\bf u}\gg{\bf v}\to{\bf u}P(R){\bf v}
定理 : 世代閒衡平性の公理と強い Pareto 原理を滿足しつつ、sup metric 位相に關する連續性をもつ世代閒效用流列の評價順序は、論理的に存在しない
強い Pareto 原理 :$ {\bf u}\gt{\bf v}\to{\bf u}P(R){\bf v}