函手の隨伴
adjoint、adjunction
行列に於ける隨伴の類似
隨伴 (adjoint)
隨伴行列 (adjoint matrix。Hermitian 轉置 (Hermitian transpose)。Hermitian 共軛 (Hermitian conjugate)。Hermitian 隨伴 (Hermitian adjoint))$ A^*,$ A^\dag $ \lang A{\bf x},{\bf y}\rang = \lang {\bf x},A^*{\bf y} \rangが、函手の隨伴に於ける自然同型$ {\bf C}(F(d),c)\simeq{\bf D}(d,G(c))に對應する bra-ket 記法では$ \braket{y|^* A|x}=\braket{x|^* A^\dag|y}
隨伴作用素 (adjoint operator)
Hilbert 空閒$ Hの有界線形作用素 (同じ事だが、連續線形作用素)$ A:H\to Hの隨伴作用素$ A^*:H\to Hは、全ての要素$ \forall x,y\in Hに對して$ \lang Ax,y\rang=\lang x,A^*y\rangを滿たすものを言ふ 轉置 (transpose)
轉置行列 (tranpose matrix)$ ^tA,$ A^\top,$ A^T 雙對對によって$ \lbrack Ax,y\rbrack=\lbrack x,^tAy\rbrackとも定められる
轉置寫像 (transpose of a linear map。雙對 (dual)。隨伴 (adjoint))
餘因子行列 (adjugate matrix。古典隨伴行列 (classical adjoint matrix))
名前が似てゐるだけ
函手の隨伴對$ F\dashv G:$ Fは左隨伴、$ Gは右隨伴 三角可換圖式を使った定義
圈$ \bf C、$ \bf Dが在る時、以下の五つが定義され、$ F\dashv Gと書く 左隨伴 (left adjoint) と呼ばれる函手$ F:{\bf C}\larr{\bf D} 右隨伴 (right adjoint) と呼ばれる函手$ G:{\bf C}\to{\bf D} 自然同型$ \Phi:{\bf C}(F(-),-)\to{\bf D}(-,G(-)) 餘單位 (counit) と呼ばれる自然變換$ \epsilon:G;F\to1_{\bf C} 單位 (unit) と呼ばれる自然變換$ \eta:1_{\bf D}\to F;G 可換圖式https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/AdjointFunctorSymmetry.pngが成り立つ $ \forall f!\exist\Phi_{Y,X}(f)=g:Y\to G(X).
$ \forall g!\exist\Phi^{-1}_{Y,X}(g)=f:F(Y)\to X.
普遍射 (universal morphism) を使った定義
函手$ F:{\bf C}\larr{\bf D}が左隨伴であるとは、全ての$ \forall X\in|{\bf C}|に對して$ \exist Y\in|{\bf D}|が存在し普遍射$ \epsilon_X:F(Y)\to Xが有る事を言ふ 函手$ G:{\bf C}\to{\bf D}が$ Xから$ Yへの對應で定まり、右隨伴と呼ぶ 函手$ G:{\bf C}\to{\bf D}が右隨伴であるとは、全ての$ \forall Y\in|{\bf D}|に對して$ \exist X\in|{\bf C}|が存在し普遍射$ \eta_Y:Y\to G(X)が有る事を言ふ 函手$ F:{\bf C}\larr{\bf D}が$ Yから$ Xへの對應で定まり、左隨伴と呼ぶ 函手$ F:{\bf C}\larr{\bf D},$ G:{\bf C}\to{\bf D}が隨伴對$ F\dashv Gであるとは、自然同型$ {\bf C}(F(-),-)\simeq{\bf D}(-,G(-))が有る事を言ふ 餘單位と單位を使った定義
函手$ F:{\bf C}\larr{\bf D}と$ G:{\bf C}\to{\bf D}が在り、二つの自然變換である餘單位$ \epsilon:G;F\to 1_{\bf C}と單位$ \eta:1_{\bf D}\to F;Gが在るとすると、これらの合成が恆等自然變換となる$ F\xrightarrow{\eta;F}FGF\xrightarrow{F;\epsilon}F=1_F,$ G\xrightarrow{G;\eta}GFG\xrightarrow{\epsilon;G}G=1_Gならば、これらの函手は隨伴對であり$ F\dashv Gと書く 餘單位-單位恆等式 (zig-zag 恆等式)
$ 1_F=(\eta;F);(F;\epsilon).
$ 1_G=(G;\eta);(\epsilon;G).
組$ (A,\le_A)と$ (B,\le_B)とが半順序である時、單調函數$ f:A\to Bと$ g:A\larr Bとが Galois 接續であるとは、$ \forall a_{\in A},b_{\in B}(f(a)\le_B b\iff a\le_A g(b))である事を言ふ。$ fを下隨伴 (lower adjoint)、$ gを上隨伴 (upper adjoint) と呼ぶ bitterharvest’s diaryから