フィボナッチ数列の性質 - Miyatake's Notebook / 宮武昌史の雑記帳

フィボナッチ数列の性質

$ f_{0}=0,\ f_{1}=1,\ f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2} \quad (n=2,3,4,\cdots)なるフィボナッチ数列を考える。

$ f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}=(f_{n-2}+f_{n-3})+f_{n-2}=2f_{n-2}+f_{n-3}

$ =2(f_{n-3}+f_{n-4})+f_{n-3}=3f_{n-3}+2f_{n-4}

$ =3(f_{n-4}+f_{n-5})+2f_{n-3}=5f_{n-4}+3f_{n-5}

$ =\cdots=f_{k}f_{n-k+1}+f_{k-1}f_{n-k}

ここで$ k=n-k+1のとき，$ k=\frac{n+1}{2}

$ f_{n}=f_{\frac{n+1}{2}}f_{\frac{n+1}{2}}+f_{\frac{n-1}{2}}f_{\frac{n-1}{2}}=f_{\frac{n+1}{2}}^{2}+f_{\frac{n-1}{2}}^{2}

$ nは奇数でなくてはならないので，$ n=2m+1\quad(m=0,1,2,\cdots)として，

$ f_{m+1}^{2}+f_{m}^{2}=f_{2m+1}

となり，フィボナッチ数列の隣接項の二乗和もまたフィボナッチ数列である。