【中・高 数学】f(x+y)=f(x)f(y)を満たす関数
なんかこんな問題を受験生の時に見た記憶があるのでまとめ。（当時は微分方程式が高校数学の範囲に入っていた）
問題
$ f(x+y)=f(x)f(y)を満たす関数を求めよ。ただし，$ f(x)\neq 0とする。
解答
$ f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)により$ f(0)=0, 1であるが，$ f(0)=0とすると，$ f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0となるので，$ f(0)=1とする。
$ f’(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h}
$ = f(x) \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-1}{h} = f(x) \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} = f(x)f'(0)
ここで，$ f'(0)=aとすると
$ f'(x)=af(x)
となる。これは微分方程式となるが，その一般解は$ f(x)=Ce^{ax}となることは容易に分かる。
ここで，$ f(0)=1なので，$ C=1であり，$ f(x)=e^{ax}となる（$ aは実数）。
2019/6/25 #中高数学 (2020/5/6 加筆)