【中・高 数学】1/7の循環小数

$ \frac{1}{7} = 0.142857142857\cdots

$ \sum_{n=1}^{\infty} 142857 \times 10^{-6n} = 142857 \sum_{n=1}^{\infty}10^{-6n}

$ =142857 \times \frac{10^{-6}}{1-10^{-6}} = \frac{142857}{10^{6}-1} = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}

さらに循環小数を観察すると，実は次のようにも表せるのではないかと考えた。

$ \frac{1}{7} = 14\times10^{-2}+28\times10^{-4}+56\times10^{-6}+112\times10^{-8}\cdots

これも無限級数で表して解くと，確かに1/7になる。

$ \sum_{n=1}^{\infty} \{ 14\times 2^{n-1} \times 10^{-2n} \} = 14 \sum_{n=1}^{\infty} \{2^{n-1} \times 10^{-2n} \} = 7 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{50} \right)^{n}

$ =7 \times \frac{1/50}{1-1/50} = \frac{7}{50-1} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}