【中・高数学】log 7 を近似する
$ a = \log 2, $ b=\log3とおくと，1から10までの整数の対数は，次のように表せる。 $ \log 1 = 0
$ \log 2 = a
$ \log 3 = b
$ \log 4 = \log 2^{2} = 2 \log 2 = 2a
$ \log 5 = \log (10/2) = \log 10 - \log 2 = 1 -a
$ \log 6 = \log 2\cdot3 = \log 2 + \log 3 = a+b
$ \log 7 = ???
$ \log 8 = \log 2^{3} = 3 \log 2 = 3a
$ \log 9 = \log 3^{2} = 2 \log 3 = 2b
$ \log 10 = 1
残念ながら$ \log 7だけは$ a, bだけでは表せない。よって，近似を考える。 突然だが，$ 7^{4} = 2401 \fallingdotseq 2400 と近似してしまおう。
こうすると，
$ \log 7 \fallingdotseq \log 2400^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} \log 2400 = \frac{1}{4} \log 10^{2}\cdot2^{3}\cdot3 = \frac{1}{4} (2+3\log 2 + \log3) = \frac{1}{4}(3a+b+2)
と近似できる。
これを実際計算すると，0.845052810427902 であり，logを直接計算した値 0.845098040014257 と比べて，小数点以下第4位まで同じという，かなり高精度な近似となっていることが分かる。 もう一つ，別な方法を考えよう。
$ 48<49<50 より，$ 2^{4}\cdot3 < 7^{2} < 10^{2}/2と考え，挟み込む。
$ \frac{1}{2}\log (2^{4}\cdot3) < \log 7 < \frac{1}{2}\log (10^{2}/2)
$ \frac{1}{2}(4\log2+\log3) < \log 7 < \frac{1}{2}(2-\log2)
$ \frac{1}{2}(4a+b) < \log 7 < \frac{1}{2}(2-a)
$ \log 7は挟み込んだ値の丁度真ん中（両者の平均）にあると近似すると，
$ \log 7 \fallingdotseq \frac{1}{4}(4a+b) + \frac{1}{4}(2-a) = \frac{1}{4}(3a+b+2)
となり，先程の近似の式と全く同じになる。要は，$ 48\times50=2400という式から来ているだけだが。
2022/02/04