【中・高数学】面積の問題

次のグレー部分の面積を求めよ。外側の正方形の1辺の長さは1である。これはすなわち半径1で中心角90°の扇型4枚を，一辺1の正方形に収まるように重ねたときに、全ての扇形が重なる部分の面積である。

https://gyazo.com/6d1cb3d1ca5fcafcad3f50da1ae59a67

解法1（高校レベル：積分）

塗られた部分の右上の図形の面積を求めて4倍する。

$ 4\left(\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1-x^{2}}dx - \frac{\sqrt{3}-1}{2}\cdot\frac{1}{2} \right)=4\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sqrt{1-x^{2}}dx+1-\sqrt{3}

$ =4\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{1-\sin^{2}\theta}\cos\theta d\theta +1-\sqrt{3}=4\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\cos^{2}\theta d\theta +1-\sqrt{3}

$ =4\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta +1-\sqrt{3}=2\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(1+\cos2\theta) d\theta +1-\sqrt{3}

$ =\biggl\lbrack 2\theta+\sin2\theta \biggr\rbrack _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}+1-\sqrt{3}=1+\frac{1}{3}\pi-\sqrt{3}\approx0.3152

※ メモ: Scrapbox上のLaTeXで，角括弧（大括弧）は \lbrack \rbrack でOK…

解法2（中学レベル）

解法3よりもこっちの方が素直に思える。

$ \therefore 4\left(\frac{1}{12}\pi-\frac{\sqrt{3}-1}{4}\right)=1+\frac{1}{3}\pi-\sqrt{3}\approx0.3152

解法3（中学レベル 別解）

正三角形の面積が必要になることがなかなか思い付かない…

$ \therefore 1-\left(\sqrt{3}-\frac{1}{3}\pi\right)=1+\frac{1}{3}\pi-\sqrt{3}\approx0.3152