【中・高数学】チェバの定理をベクトルで導出してみた

チェバの定理，なんかあまり他に使い道が考えにくく，またベクトルで導出できれば覚える必要もないだろうと，試してみた結果のメモ。

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辺の長さの比を次のように定義。

$ ( 0 < s,t,u < 1 )

チェバの定理の左辺は次のように書き換えられる。

$ \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB} = \frac{1-s}{s}\cdot\frac{1-t}{t}\cdot\frac{1-u}{u} = \frac{(1-s)(1-t)(1-u)}{stu}

一方，ベクトルの平行関係は次の通り。

よって，比例係数を用いて次のように書ける。

$ \vec{OP} = s \vec{b} + (1-s) \vec{c} = k \vec{a}

$ \vec{OQ} = t \vec{c} + (1-t) \vec{a} = l \vec{b}

$ \vec{OR} = u \vec{a} + (1-u) \vec{b} = m\vec{c}

これらを整理。

$ k \vec{a} - s \vec{b} + (s-1) \vec{c} = 0

$ (t-1) \vec{a} + l \vec{b} - t \vec{c} = 0

$ -u \vec{a} + (u-1) \vec{b} + m\vec{c} = 0

これらは全て同値のはずであり，係数の比例関係から，次の関係式が成り立つ。

$ k: - s : s-1 = t-1 : l : - t = - u : u-1 : m

$ (t-1)(u-1)=l(-u)

$ (t-1)(u-1)=-\frac{st}{1-s}(-u)

$ (1-t)(1-u)=\frac{stu}{1-s}

$ \frac{(1-s)(1-t)(1-u)}{stu}=1

$ \therefore \frac{BP}{PC}\cdot\frac{CQ}{QA}\cdot\frac{AR}{RB} = 1

よってチェバの定理が示された。