勾配
パラメータ$ \theta付きなら、期待値の関数を微分して、勾配の関数が得られる。 期待値の関数
$ f(\theta) = \langle\psi| U^\dagger(\theta) O U(\theta) |\psi\rangle
勾配の関数
$ \{fg\}' = f'g+fg'より、
$ \frac{df}{d\theta} = \langle\psi| \frac{dU^\dagger}{d\theta}OU |\psi\rangle + \langle\psi| U^\dagger O \frac{dU}{d\theta} |\psi\rangle
ここで、
$ \frac{dU^\dagger}{d\theta} = \left(\frac{dU}{d\theta}\right)^\daggerより、
$ \frac{df}{d\theta} = 2Re\lbrack \langle\lambda| \frac{dU}{d\theta} |\psi\rangle \rbrack