RXブラー - mu5-quantum

RXブラー

画像の操作は、準備ステップの後、確率の最終読み取り前に量子ゲートを追加することで行われます。最も簡単な効果は、この手法の名前の由来でもある「ぼかし」です。これを確認するために、点 $ (x,y)と、ビット文字列 $ s(x,y) と $ s(x_j,y_j) が単一ビット $ jだけ異なる点$ (x_j,y_j) を考えます。

https://scrapbox.io/files/669cf54f12ff3b001d46e9f3.png

対応する量子ビットにrxを適用すると、振幅に次のような影響を与えます。

$ \sqrt{h(x,y)} \rarr i\hspace{0.25em}cos \frac{\theta}{2} \sqrt{h(x,y)} + sin \frac{\theta}{2} \sqrt{h(x_j,y_j)}

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自分用メモ

code:tex

|a\rangle =

\left( \begin{matrix}

\alpha_0 \\

\alpha_1

\end{matrix} \right),

|b\rangle =

\left( \begin{matrix}

\beta_0 \\

\beta_1

\end{matrix} \right)

https://scrapbox.io/files/66b895a5a0fc67001c4c4d7d.png

https://scrapbox.io/files/66b895bcd6dd75001c1a7a26.png

code:tex

i\hspace{0.25em}cos\frac{\pi}{4}\times1 + sin\frac{\pi}{4}\times0

= \frac{1}{\sqrt2}

https://scrapbox.io/files/66b8c35c75b010001d4d7b28.png

code:tex

|\psi\rangle

=\left( \begin{matrix}

\sqrt{h(0,0)} \\

\sqrt{h(0,1)} \\

0 \\

\sqrt{h(0,2)} \\

\sqrt{h(1,0)} \\

\sqrt{h(1,1)} \\

0 \\

\sqrt{h(1,2)} \\

0 \\

\sqrt{h(2,0)} \\

\sqrt{h(2,1)} \\

0 \\

\sqrt{h(2,2)}

\end{matrix} \right)

=\left( \begin{matrix}

0 \\

1 \\

0 \\

\end{matrix} \right)

code:tex

Rx =

\left( \begin{matrix}

?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,? \\

0,sin\frac{\theta}{2},0,0,sin\frac{\theta}{2},icos\frac{\theta}{2},0,sin\frac{\theta}{2},0,0,0,0,0,sin\frac{\theta}{2},0,0 \\

?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,? \\

?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

\end{matrix} \right)

どうやって隣接ピクセルの量子状態のみ干渉させるのかわからない

まさか、測定した後に古典的にブラー計算してる？

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これは角度 θ でパラメータ化された、2つの h 値の間の補間を意味します。すべての量子ビットに rx が適用されると、θ が小さい場合に次の近似が成り立ちます。

$ cos\theta \approx 1, \hspace{0.25em}sin\theta \approx \theta

$ \sqrt{h(x,y)} \rarr i\sqrt{h(x,y)} + \frac{\theta}{2} \sum_j{\sqrt{h(x_j,y_j)}}

θ が非常に小さい値の場合にのみ精密ですが、これによって$ h(x,y)の値がぼやけることを示しています。これは、対応する振幅をすべての点$ (x_j, y_j)の値の平方根の平均で補間することで実現されます。座標をビット文字列にエンコードすることを考えると、これは標準的なぼかしに必要なように、すべての隣接点を含むことになります。

同様に、ry 回転が小さな角度でぼかし効果を誘発できることも示すことができます。しかし、量子画像マッピング Eq.1のように画像をエンコードすると、θ が大きくなると rx と ry のぼかし効果はすぐに異なるものになります。最も単純かつ強力な例は、すべての点で$ h(x,y) = 1となる真っ白な画像です。量子画像マッピング Eq.2のエンコードを考えると、これは rx 回転の固有状態である状態$ |+\rangle^{\otimes n}に対応します。したがって、この画像は標準的なぼかし効果が期待されるように、rx ぼかしの影響を受けません。

しかし、ry 回転の場合、$ |+\rangle状態は$ |1\rangle方向に回転し、$ \theta = \frac{\pi}{2}で$ |1\rangle^{\otimes n} となります。結果として得られる画像は、ビット列がすべて 1 である座標の単一の明るいピクセルを持ち、他の座標では$ h(x,y) = 0となります。小さな角度の場合でも、この単一のピクセルの結果が他のすべてのピクセルよりもはるかに高い確率で現れるため、画像を支配するようになります。これは標準的なぼかし効果ではなく、干渉効果の明確な例を示しています。しかし、この場合、視覚的にはあまり印象的ではありません。

より一般的な画像でも、$ |+\rangle^{\otimes n}との重なりが大きく、この成分も同様に影響を受けます。したがって、rx および ry の両方のアプローチが大きな$ \thetaでは単純なぼかし効果から逸脱するものの、ry ぼかしは通常、これがより早く、実用性が低い形で発生します。そのため、状態を量子画像マッピング Eq.1に従って標準的にエンコードする場合、通常は rx ぼかしが使用されます。

先に進む前に、rx 回転と ry 回転の間に見られる明確な違いの理由を考えてみましょう。このために、単純な均一画像の場合を考えます。これは、すべての量子ビットで$ |+\rangleを持つ量子状態に対応します。これらは rx の固有状態であり、そのためこのような回転は影響を与えません。しかし、ry に対しては、$ \theta = \frac{\pi}{2}の回転がすべての量子ビットで確定的な$ |0\rangleまたは$ |1\rangleをもたらし、すべての明るさが単一のピクセルに集まります。より一般的には、基礎的な明るさのために大きな$ |+\rangle^{\otimes n}成分が存在すると予想されます。これも再び rx 回転に対して不変ですが、ry 回転は再びそれを単一のピクセルに崩壊させます。小さな角度でも、この効果は単一のビット文字列が他のほとんどの文字列よりもはるかに高い確率で現れることを意味します。これにより、rx 回転を効果的に使用することがはるかに容易になります。実際、これらの回転は現在の量子ぼかしのユースケースで最も一般的に使用されています。

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