Gradients, parallelism, and variance of quantum estimates

https://www.semanticscholar.org/paper/Gradients%2C-parallelism%2C-and-variance-of-quantum-Preti-Schilling/7ccef8c37f84e044a9505018f148b45eb177e42e

Abstruct

量子ハードウェア上での観測量およびその勾配の計算は、あらゆる量子アルゴリズムにおける中心的な要素である。本研究ではまず、コスト関数と勾配の両方について、量子振幅推定を用いる場合と用いない場合の標準的な観測量推定手法を概観し、サンプリングにおける課題を議論するとともに、ユニタリの線形結合（LCU: Linear Combination of Unitaries）の有無による量子回路での分散伝播を解析する。その後、LCU 回路を用いた勾配計算に関する標準的手法を体系的に分析する。最後に、n量子ビットゲートに基づく最も一般的な勾配や時間依存の量子制御勾配に対応する LCU 勾配フレームワークを構築し、回路推定器の収束挙動を解析するとともに、近未来的な量子ハードウェアとフォールトトレラントな量子ハードウェアの両方に向けた詳細な回路表現を提供する。

Introduction

急速に発展する量子計算の分野では、量子アルゴリズムにおけるサンプリング複雑性の慎重な分析が求められている [1)。特に NISQ（Noisy Intermediate-Scale Quantum）アルゴリズム [2)は、古典的パラメータに依存する特定の最適化問題 [3)を符号化するために用いることができる。この文脈において、量子アルゴリズムの出力を古典的パラメータに関して効率的かつ信頼性の高い方法で微分する技術（勾配推定）が広く研究されてきた [4–6)。量子アルゴリズムの応用範囲は非常に広い。

量子アルゴリズムは通常、1つまたは複数の量子回路群 [7)として実装される。これらは、超伝導量子回路 [8, 9)、イオントラップ [10)、あるいはリュードベリ原子 [11)などの利用可能な量子計算プラットフォーム上での物理実験に対応している。これらのモデルにおいては、まず量子状態を準備し、ユニタリ操作の作用の下で時間発展させ、その後に測定を行う。ユニタリ操作の途中で量子ビットを測定することも可能であり [12)（必要に応じてリセットもできる）、その結果として混合状態を含むより複雑な写像を量子アルゴリズムに実装することも可能になる。量子アルゴリズムを複数回実行することで、異なる結果の統計データを収集できる。例えば、変分量子アルゴリズム（VQA）[13–15)の場合、測定過程の統計を用いてコスト関数を推定し、そのコスト関数を古典的最適化手法を用いて変分パラメータに関して最適化する。

本研究の中心的な側面のひとつは、精度 ϵ で主要な回路の可観測量を推定するために必要な測定回数のスケーリングである。通常、任意の可観測量の平均値は、演算子基底（例：パウリ基底）の要素を表す複数の量子回路からサンプリングすることで推定される。演算子基底の各要素の平均値は、同一回路を複数回実行することで評価できる。最も単純な実装では、必要な回数はコピー数 L に線形に比例し、すなわち O(L/ϵ²) となる。

シャドウトモグラフィモデル (16, 17) では、このスケーリングは劇的に改善され、O(log(L)/ϵ²) に到達できる。一方、振幅増幅を用いるとスケーリングは亜線形となり、振幅増幅およびジョルダンアルゴリズムルーチン (18, 19) を実装する必要がある代償を伴うが、O(√L/ϵ) となる。平均値が推定された後、それらは適切な係数とともに和を取られる。この操作によって分散は項の数に線形に比例してさらに増大する (20)。

本論文では、量子コスト関数に対する特定の推定量を解析する。NISQ 回路におけるほとんどの提案は、可観測量の推定に測定の線形結合を用いることを前提としており (20–23)、これを標準推定量 (SE: Standard Estimator) と呼ぶ。この推定量は、古典的および量子的な期待値の混合を計算する必要がある場合にも用いられる。例えば、準モンテカルロ法などがある。QML の場合、データセットにわたる平均を計算する必要がある (24–29)。一方、量子制御および最適化の分野では、いわゆるロバスト制御 (30) や適応制御／メタ最適化 (31, 32) の文脈において、制御パルスがパラメータ変動に対して感度を持たないようにするために、あるパラメータ空間にわたるコスト関数の平均を計算する必要がある (31–35)。さらに、古典的および量子的なサンプリングの両方を利用する推定量の例として、(確率的な) パラメータシフト則 (4, 36) があり、これは変分量子回路を用いた量子コスト関数の勾配を評価するのに使われる。最後に、量子計算流体力学 (QCFD) のような量子アルゴリズムの応用においては、関連する偏微分方程式のダイナミクスを量子ハードウェア上に符号化するために、複数の量子回路からの推定値を (量子あるいは古典的に) 総和する必要がある (37)。