Efficient Quantum Gradient and Higher-order Derivative Estimation via Generalized Hadamard Test
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Abstruct
ノイズを含む中規模量子（NISQ）計算の文脈において、パラメータ化量子回路（Parameterized Quantum Circuits; PQCs）は、近未来の量子ハードウェア上での量子センシング、最適制御、最適化、機械学習といった課題に取り組むための有望なパラダイムとして注目されています。PQCsの動作を理解するうえで勾配ベースの手法は極めて重要であり、これらは勾配非依存型手法と比較して、変分量子アルゴリズム（VQAs）の収束速度において大きな利点を示してきました。しかしながら、既存の勾配推定法――例えば有限差分法（Finite Difference）、パラメータシフト則（Parameter Shift Rule）、アダマールテスト（Hadamard Test）、および直接アダマールテスト（Direct Hadamard Test）――は、特定のPQCsに対して最適とは言えない勾配回路を生じる場合があります。この問題を解決するために、本研究では柔軟アダマールテスト（Flexible Hadamard Test）を提案します。これは一次の勾配推定法に適用することで、アンサッツ生成子（ansatz generators）と観測量（observables）の役割を入れ替えることを可能にします。この反転により、測定最適化技術（measurement optimization techniques）を利用してPQCsの勾配を効率的に計算できるようになります。さらに、高次の偏導関数を評価する際の指数的コストを克服するために、我々はk重アダマールテスト（k-fold Hadamard Test）を提案します。これにより、単一の量子回路で第k次偏導関数を計算することが可能となります。加えて、量子自動微分（Quantum Automatic Differentiation; QAD）を導入します。これは、各パラメータごとに最適な勾配推定手法を自動的に選択する統一的な勾配法です。私たちの知る限り、これは全パラメータに対して単一の手法を一律に適用する従来の慣習を打ち破った初めての実装です。厳密な数値実験を通じて、我々が提案する一次勾配手法の有効性を検証し、実際のPQC応用において回路実行回数を最大で O(N) 倍削減できることを示しました。本研究は、VQA計算の高速化に貢献し、NISQ時代の量子計算における実用的価値を提供します。
1. Introduction
量子コンピュータは、分子シミュレーション、創薬、金融、機械学習 などの分野において、最適化問題に対するより優れた解法を提供し、技術を根本的に変革する可能性を秘めています。その中でも、ノイズを含む中規模量子（NISQ）デバイスを活用するために登場した注目すべき研究領域が、パラメータ化量子回路（Parameterized Quantum Circuits; PQCs）です。PQCsは、量子センシング、量子最適制御、量子計測など、さまざまな分野で極めて重要な役割を果たしています。特に、PQCsは変分量子アルゴリズム（Variational Quantum Algorithms; VQAs）と呼ばれる一連のNISQアルゴリズムを可能にします。VQAsは、量子計算機と古典計算機を組み合わせたハイブリッド計算を活用して、近似解を探索する手法です。このハイブリッド型の計算パラダイムは、計算負荷の一部を量子から古典プロセッサに移すことで、近未来の量子デバイスでも実用的に利用可能な価値を持っています。
Why measuring quantum gradients?
PQCsの測定結果がパラメータの変化によってどのように影響を受けるかを理解するためには、勾配（gradient）を解析することが自然です。特に勾配は、ノイズのある環境下で量子計測を強化する高いエンタングルメント状態の探索 [6, 7)や、量子制御理論におけるパラメータ最適化 [8–11)において有用です。また実際に、勾配を用いることで多くのVQA（変分量子アルゴリズム）において収束を加速できることが確認されています。たとえば：
量子近似最適化アルゴリズム（QAOA） [12–14)
変分量子固有値ソルバー（VQE） [15–18)
量子支援量子コンパイル（QAQC） [19, 20)
量子ニューラルネットワーク（QNNs） [21–26)
さらに理論的にも、勾配ベースの最適化は勾配非依存型手法と比較して収束速度を大幅に改善することが証明されており [27)、正確かつ効率的な勾配推定技術の必要性が強く求められています。
Existing Gradient Methods
勾配を求めるために、これまでにさまざまなアプローチが開発されてきました。
有限差分法（Finite Difference; FD）や同時摂動確率近似法（Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation; SPSA）は、代表的な確率的近似手法です。これらでは、パラメータ空間の近傍点で評価した関数値の差分から勾配を推定します。手法自体は単純ですが、高次元または複雑な関数空間においては、数値的不安定性や不正確さに悩まされることがあります。
パラメータシフト則（Parameter Shift Rule; PSR）は、量子ハードウェア上でパラメータ化された量子ゲートの解析的勾配を効率的に計算する方法を提供します。
アダマールテスト（Hadamard Test; HT）による勾配法は、間接測定を利用してより広範なパラメータ化ゲートに対して勾配を推定することを可能にします。
さらに後に提案された直接アダマールテスト（Direct Hadamard Test; DHT）は、間接測定を直接測定に置き換えることで、サイズや接続性に制約のあるNISQデバイス上での勾配推定を容易にする手法です。DHTは、量子ビットを節約できる効率的な選択肢として、NISQ時代に適した方法となっています。
Key Challenges
古典的バックプロパゲーションの計算困難性（Classical Backpropagation Intractability）：大規模なパラメータ化量子回路（PQC）の勾配を計算する際、古典的バックプロパゲーションの適用は事実上不可能となります。量子勾配の評価には量子コンピュータの利用が不可欠であり、これに伴い量子特有の計算的課題が生じます。
量子勾配回路の非最適性（Suboptimal Quantum Gradient Circuits）：既存の量子勾配法は、特定のPQCに対して非効率的な勾配回路を生成することが多く、結果として、「回路の深さ（circuit depth）が大きくなる」「測定回数が膨大になる」という問題を引き起こす。さらに、すべての既存手法では高次偏導関数を計算する際に指数的な計算コストが発生するため、これらのケースに特化したより効率的なアルゴリズムの開発が求められています。
特化型勾配手法の必要性（Need for Specialized Gradient Methods）：PQC内の異なるパラメータごとに最適な勾配計算法は異なる可能性があります。したがって、全てのパラメータに単一の手法を適用する「一律的アプローチ」では最適化が困難です。このことは、個々のパラメータに合わせた特化的手法を開発する重要性と課題を強調しています。
Key Ideas
本研究では、非最適な量子勾配回路の課題に対処するために、革新的かつ効率的な2つの勾配計算法を提案します。
それが、
柔軟アダマールテスト勾配法（Flexible Hadamard Test gradient method）
k重アダマールテスト勾配法（k-fold Hadamard Test gradient method）
です。
柔軟アダマールテスト勾配法（Flexible Hadamard Test Gradient Method）
この手法は、測定最適化技術（measurement optimization techniques）と組み合わせることで、PQCの勾配推定に必要な回路実行コストを削減し、特に既存手法の性能が低下する場面で、VQAの学習を加速させる可能性があります。さらに、この一般化された手法により、既存の アダマールテスト（Hadamard Test） および 直接アダマールテスト（Direct Hadamard Test） をそれぞれ次のように変換することが可能です：
反転アダマールテスト（Reversed Hadamard Test; RHT）
反転直接アダマールテスト（Reversed Direct Hadamard Test; RDHT）
これらの反転型勾配法は、ユニタリゲートと測定の役割を入れ替えて勾配を評価します。この結果、PQCsにおける勾配推定手法の選択肢がさらに拡張されます。
k重アダマールテスト勾配法（k-fold Hadamard Test gradient method）
この手法は、既存手法が $ 2^k個の異なる回路を必要とするのに対し、単一の回路でPQCの第k次偏導関数を推定することを可能にします。これにより、高次勾配計算の指数的コストを劇的に削減できます。
量子自動微分（Quantum Automatic Differentiation; QAD）
PQC内の異なるパラメータがそれぞれ異なる勾配計算法から恩恵を受ける可能性があるという課題に対処するため、本研究では、一次勾配に対する量子自動微分（QAD）手法を提案します。私たちの知る限り、これはPQCの各パラメータに対して異なる勾配手法を個別に適用できる初めての実装です。
実験と結果
我々は、アーキテクチャレベルでの詳細な解析および数値実験を通じて、反転型手法（RHT・RDHT）の優位性とQADの有効性を検証しました。具体的には、
量子支援量子コンパイル（QAQC）のタスクにおいて、反転手法はO(N)倍の回路実行数削減を実現
量子ニューラルネットワーク（QNN）による分類タスクでは、QADが単純なパラメータシフト法に比べて9倍の効率向上
これらの成果により、本研究はNISQ時代における量子勾配計算の効率化と実用化に向けて大きく前進するものとなります。
主要な貢献
要約すると、本研究の貢献は以下の通りです。
Flexible Hadamard Test（柔軟なアダマールテスト）の導入：我々は、2つの新しい「反転型勾配推定アルゴリズム」である RHT（Reversed Hadamard Test） および RDHT（Reversed Double Hadamard Test） に繋がる一般的な手法を提示する。
𝑘-fold Hadamard Test（𝑘重アダマールテスト）の導入：単一の回路でパラメータ化量子回路（PQC）の高次偏導関数を効率的に推定する手法を提案し、必要な回路数を大幅に削減する。
量子自動微分ソフトウェア（Quantum Automatic Differentiation, QAD）の導入：各パラメータに対して最適な勾配計算手法を自動で割り当てる適応型勾配法を開発・実装した。我々の知る限り、同一のPQC内でパラメータごとに異なる勾配計算法を割り当てられる最初の実装である。さらに、包括的なアーキテクチャレベルの分析を行い、実際のVQA（Variational Quantum Algorithm）応用における大幅な性能向上を示した。
全体として、本研究は、
勾配および高次導関数の計算における革新的なアルゴリズム
性能と効率を高める適応的アプローチ
を提供することで、この分野を前進させるものである。これらの貢献は、さまざまな応用領域で有用な洞察と実践的な解決策を提供し、勾配推定および実行効率の大幅な改善を実現する。
本論文の構成は以下の通りである：
第II章：パラメータ化量子回路（PQC）の基礎概念、勾配の定式化、既存の勾配手法、および測定グルーピングの技術を説明する。
第III章：提案する効率的な勾配推定アルゴリズムおよびQADを統合的手法として導入する。
第IV章：反転型手法およびQADの有効性を示す数値実験を行う。
第V章：本研究と既存文献との関連を論じ、今後の研究方向性を提示する。
第VI章：本論文の貢献をまとめる。
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！！！2章未翻訳！！！
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3. 効率的な勾配推定
本節では、より効率的な勾配推定のための3つの手法を提案する。最初の手法はアダマールテスト回路（Hadamard Test circuit）に基づいており、積の形で現れる可換演算子（Hermitian operator）が複数含まれる場合に、どの演算子を測定するかを柔軟に選択できるという特徴を持つ。これにより、測定のグルーピング（measurement grouping）をより最適化できる。この手法をHT（Hadamard Test）およびDHT（Double Hadamard Test）の両方に適用することで、2つの新しい勾配推定法を導入する。さらに、高次導関数（higher-order derivatives）に対しては、従来法に比べて指数関数的な優位性を持つ可能性のあるアルゴリズムを提案する。このアルゴリズムもまた、測定する演算子をある程度柔軟に選択できるという利点を持つ。最後に、さまざまな勾配推定アルゴリズムを統合するフレームワークを提示し、それぞれの手法のトレードオフを考慮して、状況に応じて最適な手法を自動的に選択する仕組みを導入する。我々の知る限り、単一の変分回路（variational circuit）内でパラメータごとに異なる勾配推定アルゴリズムを適用できる実装はこれが初めてである。
A. Flexible Hadamard Test（柔軟なアダマールテスト）
アルゴリズムを導入するにあたり、まずいくつかの記法を簡略化する。
エルミート演算子（Hermitian operator）を次のように定義する：
https://scrapbox.io/files/68e632d54de4ab7e8fd5d153.png
すると、式 (4) および式 (5) における勾配の定義は、次のように簡略化される：
https://scrapbox.io/files/68e632f166946c4743f488e6.png
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(多分ChatGPTが勝手に入れた)
ここで、$ \tilde{H_j} はj 番目のパラメータに関連する演算子を、後続のユニタリ演算を考慮して変換したものであり、$ O は観測演算子（observable）、$ \left[\tilde{H_j},O\right] はそれらの交換子（commutator）を表す。この式は、勾配が「$ \tilde{H_j} と$ O の交換関係」によって表現できることを示しており、以降の節で説明する柔軟な測定選択および反転アダマールテストの基盤となる。
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(！！！以下未翻訳！！！)
B. 高次導関数（Higher-order Derivative）
一次導関数（first-order derivative）に加えて、エルミート行列（Hessian）やFubini–Study計量（Fisher Information Metric）［59–61)のような高次導関数（higher-order derivatives）も、パラメータ化量子回路（Parameterized Quantum Circuits, PQCs）において重要である。式 (3) で定義された関数$ f(\theta) に対する第k 次偏導関数（kth-order partial derivative）は、次のように表される：
https://scrapbox.io/files/68e634f75faa334701abcd34.png
ここで、$ j_1,j_2,...,j_k は$ \lbrace 1,2,…,n \rbrace から任意に選ばれるインデックスである。
混合偏導関数の対称性（symmetry of mixed partial derivatives）［27］により、微分の順序を入れ替えても結果は変わらない：
https://scrapbox.io/files/68e63568dd43f779993afecf.png
ここで、$ σ は $ \lbrace 1,2,…,k \rbrace の任意の順列を表す。したがって、一般性を失うことなく$ 1 \le j_1 \le j_2 ... \le j_k \le nと仮定できる。
！！！以下未翻訳！！！