期待値
$ \langle U \rangle = \langle \psi |U| \psi\rangle
と定義される。
また、定義の中に$ b \in \lbrace 0,1 \rbrace を$ (+1,-1) に写像した平均値、という点も含まれる。
期待値が固有値 ↔︎ $ |\psi\rangleが$ Uの固有ベクトル。
たとえば、$ U=Z のとき、状態ベクトルが$ |0\rangle なら期待値は$ +1 であり、$ |0\rangle は$ U(=Z)の固有ベクトルの1つである。
期待値がエネルギーの大小の比較に利用できる。
/icons/hr.icon
具体例
Xゲート
$ X = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right)
固有値 +1：固有ベクトル$ |+ \rangle
$ \langle X \rangle = 1のとき、$ |\psi\rangle = |+\rangle
固有値 -1：固有ベクトル$ |-\rangle
$ \langle X \rangle = -1のとき、$ |\psi\rangle = |-\rangle
ここで、$ \langle X \rangle = 0のとき、$ |\psi \rangle=|0\rangleor$ |1\rangle
//ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
Yゲート
$ Y = \left(\begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix}\right)
固有値 $ i：固有ベクトル$ \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle + i|1\rangle)
$ \langle Y \rangle = iのとき、$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle + i|1\rangle)
固有値 $ -i：固有ベクトル$ \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle - i|1\rangle)
$ \langle Y \rangle = -iのとき、$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt2}(|0\rangle - i|1\rangle)
ここで、$ \langle Y \rangle = 0のとき、$ |\psi\rangle = |0\rangleor$ |1\rangle
//ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
Tゲート
$ T = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\frac{\pi}{4}} \end{matrix}\right)
固有値 1：固有ベクトル$ |0\rangle
$ \langle T \rangle = 1のとき、$ |\psi\rangle = |0\rangle
固有値 $ e^{i\frac{\pi}{4}}：固有ベクトル$ |1\rangle
$ \langle T \rangle = e^{i\frac{\pi}{4}}のとき、$ |\psi\rangle = |1\rangle
ここで、$ \langle T \rangle = \frac{1+e^{i\frac{\pi}{4}}}{2}のとき、$ |\psi\rangle = |+\rangleor$ |-\rangle