実機Backpropagation：直列・観測量違い

計算例 (シミュレータ)

仮定

$ |\psi\rangle = \left( \begin{matrix} 1\\0 \end{matrix} \right)

$ \theta_0=\pi

$ \theta_1=\frac{\pi}{2}

$ H = X

計算

以下のような回路を利用したいとする。

https://scrapbox.io/files/68ab1cb547a8c8ae1a01c8c4.png

$ G_0 は、$ Rx(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2}X} のため、$ \frac{X}{2}である。

$ G_1 は、$ Ry(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2}Y} のため、$ \frac{Y}{2}である。

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ここで、$ O_0は、

$ O_0 = i \left[G_0,H\right] = i \left[\frac{X}{2},X\right] = 0

$ O_1は、

$ O_1 = i[G_1,H] = i \left[\frac{Y}{2},X\right] = Z

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また、

$ |\psi(\theta)\rangle = Ry\left(\frac{\pi}{2}\right) Rx\left(\pi\right) |0\rangle

$ = \left( \begin{matrix} \cos{\frac{\pi}{4}} & -\sin{\frac{\pi}{4}} \\ \sin{\frac{\pi}{4}} & \cos{\frac{\pi}{4}} \end{matrix} \right)$ \left( \begin{matrix} \cos{\frac{\pi}{2}} & -i\sin{\frac{\pi}{2}} \\ -i\sin{\frac{\pi}{2}} & \cos{\frac{\pi}{2}} \end{matrix} \right)$ \left( \begin{matrix} 1\\0 \end{matrix} \right)

$ = \left( \begin{matrix} \cos{\frac{\pi}{4}} & -\sin{\frac{\pi}{4}} \\ \sin{\frac{\pi}{4}} & \cos{\frac{\pi}{4}} \end{matrix} \right)$ \left( \begin{matrix} 0\\-i \end{matrix} \right)

$ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{matrix} i\\-i \end{matrix} \right)

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よって、

$ \frac{\partial C}{\partial\theta_0} = \langle\psi(\theta)| O_0 |\psi(\theta)\rangle

$ = \langle\psi(\theta)| 0 |\psi(\theta)\rangle

$ = 0

$ \frac{\partial C}{\partial\theta_1} = \langle\psi(\theta)| O_1 |\psi(\theta)\rangle

$ = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix} -i&i \end{matrix} \right) $ Z $ \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix} i\\-i \end{matrix} \right)

$ = -\frac{1}{2} \left( \begin{matrix} -i&i \end{matrix} \right) $ \left( \begin{matrix} 1&0\\0&-1 \end{matrix} \right) $ \left( \begin{matrix} i\\-i \end{matrix} \right)

$ = -\frac{1}{2} \left( \begin{matrix} -i&i \end{matrix} \right) $ \left( \begin{matrix} i\\i \end{matrix} \right)

$ = 0