実機Backpropagation：制御ゲート編

計算例

$ |\psi_0\rangle = \left( \begin{matrix} 0\\0\\1\\0 \end{matrix} \right)

$ \theta_0 = \frac{\pi}{2}

https://scrapbox.io/files/68b57527bbd46d4508d09790.png

観測量は

$ H = Z_0 + Z_1

$ = Z \otimes I + I \otimes Z

$ = \left( \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&-2 \end{matrix} \right)

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$ CRX(\theta) = |0\rangle\langle0| \otimes I + |1\rangle\langle1| \otimes Rx(\theta)

である。

そのため、指数で示すと、

$ CRX(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2}|1\rangle\langle1|X}

となる。

よって、

$ G_0 = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0 \end{matrix} \right)

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$ O_0 = i\left[ G_0,H \right]

$ = \frac{1}{2}i \left( \left( \begin{matrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&-2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 2&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&-2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&1&0 \end{matrix} \right) \right)

$ = \frac{1}{2}i \left( \left( \begin{matrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&-2\\ 0&0&0&0 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&-2&0 \end{matrix} \right) \right)

$ = \left( \begin{matrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&-i\\ 0&0&i&0 \end{matrix} \right)

$ = |1\rangle\langle1| \otimes Y

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$ = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{matrix} 0\\0\\1\\-i \end{matrix} \right)

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よって、

$ = -1

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実機

https://scrapbox.io/files/68b58a2b68283db847d3a702.png

そのため、実際は以下のような測定を行う。

$ O = Z \otimes I + I \otimes Z

$ D = HS^\dagger

$ \langle O \rangle = \langle\psi(\theta)| D^\dagger O D |\psi(\theta)\rangle

$ P(00) = 3

$ P(01) = 1

$ P(10)=1

$ P(11) = 1019

だった。

そのため、

$ \hat{m} = \sum_{k=0}^{1023}\lambda_k =

わからない