対数

定義

なぜ

指数方程式を解くのに役立つ

対数スケール

音階

底が10の対数は常用対数と呼ばれ、底を省略できる。

$ \log_{10}(x) = \log(x)

自然対数

$ \log_{e}(x) = \ln(x)

性質

演算

$ \log_{B}A + \log_{B}C = \log_{B}(A \cdot C)

$ \log_{2}8 + \log_{2}32 = \log_{2}(256) = 8

$ 2^3 + 2^5 = 2^8

$ \log_{B}A - \log_{B}C = \log_{B}(\frac{A}{C})

$ \log_{3}\frac{1}{9} - \log_{3}81 = \log_{3}(\frac{1}{9 \cdot 81}) = \log_{3}\frac{1}{729} = -6

$ 3^{-2} + 3^{-4} = 3^{-6}

$ A \cdot \log_{B}C = \log_{B}(C^A)

$ 3 \cdot \log_{2}8 = \log_{2}8^3 = \log_{2}512 = 9

$ 8^3 = (2^3)^3 = 2^9

底の変換

$ \log_{B}A = \frac{\log_{C}A}{\log_{C}B}

電卓などのlog関数は基本的に常用対数しかないのでこの性質が重要

$ \frac{1}{\log_xy} = \log_yx

$ \log_ca \cdot \log_bc = \log_ba

例

$ \log_{3}9 = 2

$ \log_{2}\frac{1}{4} = -2