部分関数の合成

式の全ての部分が値が持つときに限り、全体も値を持つ

定義

$ m変数部分関数$ gと、$ k変数部分関数$ f_1,\cdots,f_mの合成

$ g\left(f_{1}(\vec{x}), f_{2}(\vec{x}), \ldots, f_{m}(\vec{x})\right)の定義域は

$ \left\{\vec{x} \in \mathbb{N}^{k} \mid f_{1}(\vec{x}) \downarrow, \ldots, f_{m}(\vec{x}) \downarrow \land\; g\left(f_{1}(\vec{x}), \ldots, f_{m}(\vec{x})\right) \downarrow\right\}

図にすると、こんな感じ

https://gyazo.com/a50ae3befe2864d15d2764177547c353

引数の数も違うのでまったく厳密ではないが、ノリとしてmrsekut.icon

部分関数を合成していくごとに、定義される部分が小さくなっていく感じ

例

以下の3つの関数を考える

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x & (xが偶数) \\ 未定義 & (xが奇数) \\ \end{array} \right.

$ \mathrm{nought}(x)=0

$ \mathrm{multiply}(x,y)=x\times y

このとき合成された、$ \mathrm{multiply}(f(x),\mathrm{nought}(x)) の定義域はどうなるか

以下のようになる

$ \mathrm{multiply}(f(x),\mathrm{nought}(x)) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & (xが偶数) \\ 未定義 & (xが奇数) \\ \end{array} \right.

$ xが奇数のときに、$ 0にならないことに注意

式の全ての部分が値が持つときに限り、全体も値を持つ

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