最小化によって作られる関数の例

4つの関数$ gを最小化することで得られる関数の雰囲気を見る

1. $ g(x,y)= x\dot{-}2y

2. $ g(x,y)=x\ddot{-}2y

3. $ g(x,y)=x+y

4. $ g(x,y)=y\ddot{-}x

記号の意味

$ \dot{-}　

減算の結果が負数になった場合は0にする

ex. $ 2\dot{-}3=0

$ \ddot{-}

減算の結果が負数になった場合は未定義とする

ex. $ 2\ddot{-}3は未定義

$ g(x,y)= x\dot{-}2yから最小化によって$ f(x)を構成する

$ g(x,y)の取る値を表にする

https://gyazo.com/640780cdb55a47ce5cffa20d6005d4b7

最初に結論を書くと$ f(x)は以下のような関数になる

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x}{2} & (xが偶数) \\ \frac{x+1}{2} & (xが奇数) \\ \end{array} \right.

表にすると

table:f(x)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 ..

f(x) 0 1 1 2 2 3 3 4 ..

この値は、先程の表のどこに現れているか。

$ f(x)の値は、$ g(x,y)の引数の$ yであることに注意するのがコツmrsekut.icon*2

このようになる

https://gyazo.com/ef1b6344aa8313c73ce61c4a335742f9

四角で囲んだところを見ると、初めて0になったところの、$ yが、$ fの出力になることがわかる

$ g(x,y)=x\ddot{-}2yから最小化によって$ f(x)を構成する

$ g(x,y)の取る値を表にする

https://gyazo.com/0524248b8f171a889d6410346614a767

未定義な箇所は空白にしている

未定義なところは0も出現せずに未定義になる

よってこうなる

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x}{2} & (xが偶数) \\ 未定義 & (xが奇数) \\ \end{array} \right.

$ g(x,y)=x+yから最小化によって$ f(x)を構成する

$ g(x,y)の取る値を表にする

https://gyazo.com/d9d99d1664c845fe9ea48c44fb2b4bcb

よってこうなる

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & (x=0) \\ 未定義 & (x\gt0) \\ \end{array} \right.

$ g(x,y)=y\ddot{-}xから最小化によって$ f(x)を構成する

$ g(x,y)の取る値を表にする

https://gyazo.com/5d429999577397085b1a85e29bb56ca5

未定義な箇所は空白にしている

初めて0になっても、それより以前が未定義なら、結果は未定義になる

よってこうなる

$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & (x=0) \\ 未定義 & (x\gt0) \\ \end{array} \right.