半順序と全順序の違い
こういう関係性なので、完全律を満たすかどうかが、異なる点
table:関係性
反射律
推移律
反対称律 ⬏
半順序
完全律 ⬏
全順序
具体的に見ると、
半順序
では、元同士を常に比較できるとは限らない
2つの異なる元
$ a,b
があった時に、
$ a\le b
も
$ a\ge b
も成り立たないことがある
全順序
では、任意の元同士は必ず比較可能である
例えば、集合
$ A=\{a,b,c\}
において、関係
$ R
が以下のように定義されているとする
$ aRb
$ aRc
このとき、
$ R
は
$ A
上の半順序関係だが、全順序関係ではない
なぜなら、
$ bRc
や
$ cRb
が定義されていないから