ビュールマン・モデル
Bühlmann model
分布による公平性と、データ量の問題のバランスを調整しながら信頼度$ Zを求める 計算の過程で使用する記号が多い
ニーズ
分布によって保険料を変えたい
こういう盗難クレーム件数のデータがあるとき
table:盗難クレーム
盗難クレーム(件) 0 1 2 3
契約者数(人) 300 40 15 5
盗難に1回あった人と、2回あった人とで保険料を変えないと不公平が生じる
このときに、どれぐらい変えるのが適切なのか、
そして40件とかいう少ない件数でいいのか、
的なことをビュールマン・モデルで推定する
前提
確率変数$ X_i
$ 1\le i\le n
過去$ n年間の実績ロスデータ
互いに独立
パラメータ$ \thetaの同一分布に従う
確率変数$ \Theta
契約者ごとに$ \thetaが異なる
table:例
契約者 ロスデータ 母数
1 X1,X2,..,Xn θ1
2 Y1,Y2,..,Yn θ2
3 Z1,Z2,..,Zn θ3
各契約者のロスデータ
期待値$ E(X_i|\Theta)=\mu (\theta)
分散$ V(X_i|\Theta)=\sigma^2(\theta)
契約者全体でのロスデータ
$ v=E(V(X_i|\Theta))=E(\sigma^2(\Theta))
$ w=V(E(X_i|\Theta)=V(\mu(\Theta)))
これ本当に使うのか謎
$ \Thetaがポアソン分布に従うときは
$ V(X)=E(V(X|\Theta))+V(E(X|\Theta))を用いて
$ w=V(E(X|\Theta))=V(X)+E(V(X|\Theta))=\sigma^2-vとやるのが一般的
$ \mu = E(E(X_i|\Theta))=E(\mu(\Theta))
$ C=Z\bar{X}+(1-Z)\muについて、$ E\left(\left( \mu(\Theta)-(Z\bar{X}+(1-Z)\mu)\mu \right)^2\right)を最小とする信頼度$ Zは $ Z=\frac{V(\mu(\Theta))}{V(\bar{X})}
$ E(\bar{X})=\mu
ビュールマン・モデルの信頼度
$ Z=\frac{V(\mu(\Theta))}{V(\bar{X})}=\frac{n}{n+\frac{\mathrm{E}\left(\sigma^{2}(\Theta)\right)}{V(\mu(\Theta))}}=\frac{n}{n+\frac{v}{w}}=\frac{n}{n+k}
『損害保険数理』.iconのp.90の一番下
$ V(N|\Lambda)=\Lambdaと$ E(N|\Lambda)=\Lambdaになる理由がわからない
$ V(N|\Lambda)を見るときは、$ V(\Lambda)を見ればいいのか？
$ V(\Lambda)=\Lambdaは分布的に自明
参考
ざっくりだが、普通にわかりやすいmrsekut.icon