8つの順序の関係の具体例を一覧する
こんな集合を例に取る
$ \{x,y,z\}の冪集合を$ Xとする
包含関係を$ \leで表す
また、その部分集合を$ Aとする
下図の茶色で囲った箇所
以下の8つ
$ \forall a\in Aに対して、$ a\le xを満たす$ x\in Xのこと
雑: 上界の中で唯一の最も小さいもの
$ Aの上界のうち最小元である$ x\in X
存在すれば唯一
雑: $ Aの中で唯一の最も大きいもの
$ a \in Aでかつ、$ Aの上界であるもの
存在すれば唯一
雑: $ Aの中で、唯一ではないけど大きいもの
$ y\gt xを満たす$ y\in Aが存在しない$ x\in A
$ \forall a\in Aに対して、$ a\ge xとなる$ x\in Xのこと
雑: 下界の中で唯一の最も大きいもの
$ Aの下界のうち最大元である$ x\in X
存在すれば唯一
雑: $ Aの中で唯一の最も小さいもの
$ a\in Aでかつ、$ Aの下界であるもの
存在すれば唯一
雑: $ Aの中で、唯一ではないけど小さいもの
$ y\lt xを満たす$ y\in Aが存在しない$ x\in A
「極大」と「最大」のニュアンスがわかりづらいが、
これは高校数学の解析でも出てきたものと使い方は同じ
極大（極小）は「自分の近くの範囲で一番大きい（小さい）」という意味でした。
最大（最小）とは「全体の中で一番大きい（小さい）」という意味です。 ref 具体例その1
https://gyazo.com/e40804f4252f17ef39c784d5c0dba347
全部描き込んだらこんな感じになる
https://gyazo.com/0afd8d18bb7f77c10d13ca4fe48a7618
下図は最初間違って理解していたものmrsekut.icon
時間あけたらまた間違いそうなので、あえて残しておく
https://gyazo.com/cf943fb2ea8192b2b6e66b3a828aca33
どこが違うか？
例えば、上界を見てみる
定義は、$ \forall a\in Aに対して、$ a\le xを満たす$ x\in X
例えば、$ \{x,y\}は、$ \forall a\in Aに対して、$ a\le xを満たさないので間違い
なぜか？
例えば、$ \{x,y\}と$ \{x,z\}は比較可能でないから
そのため、この元は上界の定義を満たさない
他にも複数間違いがある
具体例その2
部分集合$ Aを変えてみた
https://gyazo.com/bcff5cf85138319010d41ab8f56d6805
他の具体例
非常にわかりやすい