群論
群はざっくり：集合に乗算のような演算を定義したもの 1 イントロダクション
https://youtube.com/playlist?list=PLDJfzGjtVLHn9XEfkMHH157Q-IgLiI8p9
目標：準同型定理（学部の群論のゴールに設定されることが多い）を理解する 群・環・体と演算のルールが増えていく
群の演算は1つ、環・体は2つ
どんな構造を持っているかだけに興味があるので、記号はなんでもいい
実際には便宜上馴染み深い行列で考える（群が出たら行列で考える）
演算は積で考える
なんらかの群を一般線型群に置き換えることを準同型写像という n:1
変換はふつう、群をなすので、群論に関係
並進対称性・時間反転対称性
2
$ \varnothingでない集合Gに対して二項演算$ \circ
$ G \times G \to G
$ (a, b) \mapsto a \circ b
が与えられていて
基素.icon 演算を抽象的に扱う。○を具体化すると積だったり和だったりする
次の条件を満たす
任意の$ a,b,c \in Gに対して
$ (a \circ b)\circ c = a \circ (b \circ c)
どこから計算してもいい
$ e \in Gが存在し、任意の$ a \in Gに対して
$ a \circ e = e \circ a = a
を満たす
任意の$ a \in Gに対して
$ a \circ b = b \circ a = e
を満たす$ b \in Gが存在する
どんな集合が群になる？
table:群の条件を満たすか
集合, 演算 閉じている 結合法則 単位元 逆元 備考
R, + o o o(0) o(a-a=0)
Z, + o o o(0) o(a-a=0)
R,・ o o o(1) 0に逆元がない
R^*（0を除いたR),・ o o o(1) o
T={z \in C | |z| = 1} , ・ o o o(1) o オイラーの公式で考える G={1}, ・ o o o(1) o こういうつまらないのを自明群という G={i, -1, -i, 1}, ・ o o o(1) o
ハマりがちなミス
逆元は共通でなくて良い
集合と演算の両方がないと、群を考えることができない
R上のn次正則行列全体は行列の積に対して群になる
$ \rm{GL_n}(\R)と書く
General linear group
閉じている 正則行列の積は正則行列
結合法則 満たす
単位元 単位行列（正則行列）
逆元 逆行列（正則行列なので、ある）
便利な用語の導入
任意の$ a, b \in Gに対して $ a \circ b = b \circ aを満たすとき、aを可換群という $ \rm{GL_n}(\R)は非可換群
以降、$ a \circ bを$ abという
乗法の結果じゃなくても「積」というので誤解ポイント abは$ a+bかも知れないということ
Thm
1 群Gに対し、単位元はただ1つ存在する
2 任意の$ a \in Gに対し、逆元はただ1つ存在する
逆元は$ a^{-1}と書く
結構絞ったことしか言っていないのに、これが成立する
Proof.
1 単位元が2つあったとする $ e, e'
単位元の定義から次を満たす
$ \begin{cases} ee'=e' \\ ee'=e \end{cases}
$ \therefore e=e'
2 aの逆元が2つあったとする $ b, b'
結合法則の定義より
$ b=(\underbrace{b'a}_{\text{e}})b=b'(\underbrace{ab}_{\text{e}})=b'
$ (a^{-1})^{-1}=a
proof. $ aa^{-1}=a^{-1}a=eでaを$ a^{-1}の逆元と見る
$ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}
proof
$ \begin{aligned} {b^{-1}a^{-1}}ab &= b^{-1}(a^{-1}a)b \\ &=b'b \\ &=e \end{aligned}
$ \begin{aligned} ab(b^{-1}a^{-1}) &= a(bb^{-1})a^{-1} \\ &=aa^{-1} \\ &=e \end{aligned}
abに対する逆元なので
$ \therefore b^{-1}a^{-1} = (ab)^{-1}