効用関数
投資家から見た価値を表す効用関数の一般的な形は、$ U＝r−\lambda\sigma^2
rは期待リターン、λはリスク拒否度、σは標準偏差で測ったリスクで、効用関数では2乗して分散で評価される
細かな計算は省くが、r＝5％、σ＝20％で、元本に対する100％のリスク資産投資がちょうど最適な投資家のリスク拒否度は0.00625だ。
仮に、インデックスと個別銘柄の期待リターンが共に5％だとしてインデックスのリスクが20％、個別銘柄のリスクが30％とすると、
インデックスファンドへの投資は年率＋2.5％相当の効用で、
この計算でインデックスのリスクが20％とはσそのものではなく、0.1で割らないと結果が合わない。この0.1はどこから来ているのか？
0.05-0.00625*(0.2/0.1)^2
5-0.00625*20^2なら計算が合う。つまりリスク拒否度は1/100倍されているということ
個別株1銘柄への投資は－0.625％となる。
期待リターンが8.125％ある銘柄に投資できたらリスクの悪影響を克服できる計算だが、大まかに言って世の中の個別株のリターンの平均を5％だと考えなければならないのだから、それは容易ではない。
しかも、リスクの30％は個別株としては「おとなしい方の数字」だ。もっとリスクの大きな銘柄が多数ある。
https://gyazo.com/ef05c59bc8c9960ea10242b0056d6a8fhttps://gyazo.com/282bb810294578223c70481df12b8fde
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u(x)はある人が好む確実な収入の関数
くじを2回引いて(a+b)/2の収益を得るよりも、確実にa+b/2をもらうことを好む（効用が高い）
$ 確実な利益の満足度\rm{u}\Big(\frac{a+b}{2}\Big) > くじの期待値の満足度\,\frac{\rm{u}(a)+\rm{u}(b)}{2}
https://gyazo.com/477d95492d8cd437578a94fe1bb4ac87
縦軸は効用関数の値（満足度）
確実にa,bもらえる時の満足度がu(a),u(b)と仮定した