ペアノの公理
https://youtu.be/6XUNqeiJmrg
1. 0の存在
2. 任意の自然数aに対してsuc(a)が存在
3. 0はいかなるaのsuc(a)ではない
最小元の存在
4.$ a \neq b \implies rm{suc}(a) \neq ¥{suc}(b)
5. 0がある性質を満たし、aがある性質を満たせばsuc(a)もある性質を満たすとき、全ての自然数はその性質を満たす
これを構成する集合をどうつくればいいのか？
作れることが知られている
加法の定義
全ての自然数aに対して
$ a+0=a
全ての自然数はa,bに対して
$ a+suc(b)=suc(a+b)
1の定義
suc(0)=1と定義する
1-3から0と1は別物である
suc(suc(0))=2と定義する
4から1と2は別物である
a=suc(0) b=0とすると、加法の定義より
suc(0)+suc(0)=suc(suc(0)+0)
=suc(suc(0))
$ \therefore 1+1=2
ここまで5は使われていない