✅Firefox対応
Firefoxで使いたい人がいるらしい（？）
gpt-5
Manifest V3 はまだ Firefox で完全サポートされていない
してそう基素.icon
Firefox は MV3 を「対応」としています
Firefox 109（2023年1月17日リリース）から Manifest V3 に対応しています  。
しかし、Chrome で使われるような service worker ベースの background スクリプトは まだ使えません  。
Firefox の MV3 と Chrome の MV3 の違い
Firefox は Event page（scripts） を使う方法で MV3 を実現しています。これは DOM モードの background スクリプトで、MV2 の方式に近い構造です 。
一方、Chrome は service_worker を使う構造が必須。Firefox はこれに対応していません  。
現在の開発者向け対応策
Chrome 向けには background.service_worker、Firefox 向けには background.scripts を使い分ける manifest を用意するのが一般的です。両方を一つのファイルに書き、ビルドやツールによって使い分ける方法もよく使われます  。
Firefoxで動作確認する方法
ビルド
firefoxのomniboxで以下のページにジャンプ
$ about:debugging#/runtime/this-firefox
manifest.jsonを読み込む