連続写像
continuous map
点列による説明
U,Vを$ \bold{R}^m, \bold{R}^nの開集合とする 写像$ f : U \mapsto Vが点$ \bold{a} \in Uで連続である とは U内の任意の点列$ \{\bold{x}_n\}_{n=1} ^\inftyについて
$ \lim_{n\rightarrow\infty} \bold{x}_n = \bold{a} ならば $ \lim_{n\rightarrow\infty} f(\bold{x}_n) = f(\bold{a})
が成り立つことである
fがUの各点で連続のとき、連続写像$ f: U\rightarrow Vは連続写像であるという
特にV=Rの時、連続写像$ f : U\rightarrow \bold{R}は実数値連続関数に他ならない
Uをfの定義域という
$ \varepsilon - \delta論法による説明
写像$ f : U \mapsto Vが点$ \bold{a} \in Uで連続である とは
$ \bold{a}の像$ f(\bold{a})の任意の$ \varepsilon-近傍$ N_\varepsilon(f(\bold{a}))に対して、$ \delta > 0を十分小さくとれば
$ f(N_\delta(\bold{a})) \subset N_\varepsilon (f(\bold{a}))
が成り立つことである
連続写像