巡回群の指数写像 - 🍊miyamonz🍊

巡回群の指数写像

$ G=\langle g \rangle（gで生成される巡回群）とする

指数写像を考えることで、巡回群に対して位数というものを定義できる

$ f: \mathbb{Z} \longrightarrow G

$ f(n) = g^n (n \in \mathbb{Z})

を考える

これは?指数写像と呼んでる？ググってもわからなかった

多分合ってるけど　当たり前すぎてネットに書いてない

堀田よみかえさないと

fはGが巡回群なので全射

モノイドの指数法則より、

$ f(n+m) = f(n)f(m)

$ f(-n) = f(n)^{-1}

$ n,m \in \mathbb{Z}

が成り立つ

明らかにGはアーベル群である

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指数写像

fが単射とすれば、fは全単射

単射でないと仮定すると

あるn,m(n>m)で$ f(n) = f(m)

$ f(n)f(m)^{-1} = e

$ f(n-m) = e

よって、ある$ n_0で$ f(n_0) = e

そのような$ n_0で最小なものを改めて$ n_0とする

任意の$ n \in \mathbb{Z}において、剰余の定理より

$ n = qn_0 + r ( 0 \lt r \le n_0)

なる$ q,r \in \mathbb{Z}が一意に定まる

したがって

$ f(n) = f(n_0)^{q}f(r)

$ = f(r) = g^r

となって、任意のGの元はg^rとかかれる　すなわち

$ G = \{ g^r | 0 \le r \lt n_0\}

さらにGの位数は$ n_0に等しい

以上より、fは単射でなければ、$ G = \{ g^r | 0 \le r \lt n_0\}と表せる

定義

群Gの元gの位数について

$ x^{n_0} = e となる最小の$ n_0を元gの位数と言う

（存在しなければ、位数は無限という）

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まとめ

無限巡回群は、上の指数写像によって、整数の加法群Zと全単射となる

同型となる

fの定義から全射

単射性は上の段落より

有限巡回群の位数は、生成元の位数に等しい

定義より明らか

有限巡回群は定義より、これを生成するgがあり、g^n =eとなる最小のnが存在

存在しなかったら無限巡回群

このnは元としての位数の定義と同じ

巡回群の定義をすっと言えないと間違う