任意の行列は対称行列と交代行列の和に一意に分解できる
証明
分解性
$ A = \frac{A + tA}{2} + \frac{A - tA}{2}
tAは転置行列
と分解できるが，
$ \frac{A-tA}{2} は交代行列であることがそれぞれの転置を取ることで確認できる 一意性
対称行列$ B'と交代行列$ C'が
$ A=B'+C' ……………………………(式1)
と満たすものとすると
$ tA'=t(B'+C')=tB'+tC'で、
$ tB'=B', tC'=-C'だから
$ tA'=B'-C' …………………………(式2)
{(式1)＋(式2)}×(1/2)を計算すると
$ \frac{A+tA}{ 2} =B'となるので
$ B'=B
{(式1)－(式2)}×(1/2)を計算すると
$ \frac{A-tA}{2} = C'となるので
$ C'=C
したがって、和での表わし方は一意的です。