二元連立方程式

$ p = ax + by

$ q = cx + dy

普通の代入

をx,yについて解くと

第一式をc、第二式をa倍して

$ cp = acx + cby

$ aq = acx + ady

ひいて

$ (cb - ad)y = cp - aq

$ y = \frac{cp - aq}{cb - ad}

第一式に代入

$ p = a x + b(\frac{cp - aq}{cb - ad})

$ a x = p - b(\frac{cp - aq}{cb - ad})

$ x =\frac{1}{a} \{ p - b(\frac{cp - aq}{cb - ad}) \}

$ =\frac{1}{a} \frac{ p(cb - ad) - b({cp - aq}) }{cb - ad }

$ =\frac{1}{a} \frac{ - p(ad) + b({ aq}) }{cb - ad }

$ =\frac{1}{a} \frac{ {abq}- adp }{cb - ad }

$ =\frac{ bq- dp }{cb - ad }

$ x= \frac{ dp - bq }{ad - bc }

$ y = \frac{aq - cp}{ad - bc}

行列での表記

$ A ^ { - 1 } = \frac { 1 } { a d - b c } \left( \begin{array} { c c } { d } & { - b } \\ { - c } & { a } \end{array} \right)