ラッセルのパラドックス
素朴集合論において矛盾を導くパラドックス
日本語で言えば
集合の集合を考える
自分自身を含まない集合を考える
そのような集合の全体
$ R = \{ x \mid x \notin x \}
このRは、
自分自身を含むか？
自分自身を含まないか？
含むと仮定すると、
仮定: $ R \in R
この仮定は、Rの条件の否定であるため、$ R \notin Rを満たす
これは仮定と矛盾
含まないと仮定すると、
仮定: $ R \notin R
この仮定がRの元の定義を満たす。
よって、RはRの要素となり、$ R \in Rになり仮定と矛盾
となって、おかしくなるという話
すなわち、いくつかの公理によって集合論を構築して
上のラッセルのパラドックスが示すような集合は、公理的集合論においては集合とはみなされない
具体的には、
$ x \in xのような循環的な帰属関係を持つ集合の存在は、正則性公理によって否定される であってる？miyamonz.icon
違う気がする
歴史的には
1902にラッセルのフレーゲ宛書簡にある
しかし、エルンストツェルメロが1900頃に独立して発見して
一部の人に知らせている
ので、ツェルメロ＝ラッセルのパラドックスと呼ぶべきとも言われる