Bernsteinの定理に同値な定理
AからBへの単射および全射があれば、AからBへの全単射が存在する
AからBへの全射が存在し、BからAへの全射があれば、AとBは対等
また、以下の２つを考える
XからYの単射$ \varphiが存在する時、
$ \varphi(X) = V(\varphi) = Y_1とおいて、終集合をY_1に変えた写像$ \varphi_1は全単射
このとき$ X \sim Y_1で、$ Y_1 \sub Y
逆に、$ X \sim Y_1であるようなYの部分集合$ Y_1が存在する時、
XからY_1への全単射の終集合をYに変えた写像は、XからYへの単射
以上より、bernsteinの定理は以下のように言い換えられる
定理
A,Bを集合とする
以下を仮定する時
Aと対等なBの部分集合B_1および
Bと対等なAの部分集合A_1が存在する
このときAとBは対等