施設配置問題
# 施設配置問題とその整数計画問題への定式化
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目次
1. 施設配置問題の概要
2. 問題の定義と例
3. 整数計画問題への定式化
4. 問題の解法
5. 実例と演習
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施設配置問題の概要
- 施設配置問題は、ある制約条件の下で施設を最適に配置する問題です。
- 目的は、コストを最小化したり、効用を最大化したりすることです。
- 広く適用される問題で、製造業、運輸業、流通業など多岐にわたります。
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問題の定義と例
- 施設配置問題では、どの施設をどこに配置するかを決定する必要があります。
- 全体の運用コストを最小化することを目的として,店舗、倉庫、製造工場などをどこに配置するかを決定します。
- 施設間の距離、需要量、供給能力、設置費用などが目的関数や制約式において考慮されます。
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整数計画問題への定式化
- 施設配置問題は、整数計画問題として定式化することが可能です。
- 変数
施設が各地点に配置されるかどうかを示す0-1変数を導入します。
- 目的関数:全体のコストや効用を表すように設定します。
例:
- 制約条件:施設間の距離、需要量、供給能力等に関する制約式を課します。
最小化 $ \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} c_{ij} x_{ij}
制約条件
$ \sum_{j=1}^{m} x_{ij} \geq d_i for all $ i
$ x_{ij} \in \{0, 1\}
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この問題は,整数計画問題であり,Pythonにおけるpulpなどのモデリングパッケージを使うと,簡単にプログラムとして表すことができる。
code:python
# Import the library
from pulp import *
# Initialize the model
prob = LpProblem("FacilityLocation", LpMinimize)
# Define the decision variables
# Define the costs
costs = {
(0, 0): 4,
(0, 1): 6,
(0, 2): 9,
(0, 3): 8,
(1, 0): 5,
(1, 1): 8,
(1, 2): 7,
(1, 3): 6
}
# Define the objective function
prob += lpSum(costs(i, j) * x(i, j) for i in range(2) for j in range(4)) # Add the constraints
for j in range(4):
prob += lpSum(x(i, j) for i in range(2)) >= 1 # Solve the problem
prob.solve()
# Print the results
for v in prob.variables():
print(v.name, "=", v.varValue)
print("Total Cost = ", value(prob.objective))
問題の解法
- 整数計画問題の解法:ブランチアンドバウンド法やカッティングプレーン法など。
- 計算ソフトウェアの利用:CPLEXやGurobiなどの数理最適化ソフトウェアを使用。
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実例と演習
- 具体的な数値(地点、施設、コスト等)を用いた実例を通じて、施設配置問題とその解法を理解。
- 演習問題を設け、自分で問題を定式化し、ソフトウェアを使用して解を導く。